一类网络上的SIS传染病模型

王 惟,张国志

(晋中学院 数理学院，山西 晋中 030619)

0 引言

随着社会发展，不同地区成员交流越来越多，讨论传染病模型时，有必要考虑不同地区成员之间疾病传染的情况，也就是说需要将模型结合网络进行研究.作者Michael Y.Li等将图论知识应用到高维网络结构上的传染病模型，主要研究各个地区之间的成员单独通过交叉感染所形成的网络[1-4]. 本文将讨论双重耦合网络上的SIS模型：

(1)

1 平衡点的稳定性

1.1 有界性

记Ni=Si+Ii，i=1，2，…，n,则(1)可改写成下面形式：

(2)

其中为了方便，这里记δij=e-μijτij.接下来需要考虑系统(2)的平衡点情况.

证明 首先我们知道 (2)的平衡点为下面方程(3)的解：

(3)

(4)

从而命题得证.

当V'·(2)=0时，对∀

1.2 平衡点的渐近稳定性

定理2[7]对下面的系统

(5)

定理3 对于系统(1)，若矩阵B=(βij)n×n和迁移矩阵D=(dij)n×n均不可约，则s≤0时，无病平衡点E0全局渐近稳定；s>0时，系统(1)存在唯一的地方病平衡点E*在Ω{0}全局渐近稳定.

(6)

(7)

a)若s≤0时，系统(6)的零平衡点{(I1，I2，…，In)=(0，0，…，0)}在Ω0上全局渐近稳定；

b)若s>0,根据系统的一致最终有界性，可以排除系统(6)的解趋于无穷的情况，从而系统(6)一定存在唯一的正平衡点I*,且在Ω0{0}上全局渐近稳定.

由极限系统理论，当t→+时，故s≤0,系统(1)无病平衡点E0全局渐近稳定；s>0时，系统(1)存在唯一的地方病平衡点E*在Ω{0}全局渐近稳定.

2 结语

本文采取的人口输入均为常数，如果尝试B(N)N等输入方式[8]，预期的动力学行为能够更丰富一些，这些将是未来需要努力的方向.