地方本科高校近世代数课程教学改革的实践与思考

惠志昊

摘要：近世代数是现代数学的一个重要分支。近世代数课程既是本科数学与应用数学专业的一门专业必修课程，也是数学专业硕士研究生的重要基础课程。这门课程概念多、理论性强、内容抽象，学生学习起来有较大的困难，教师教学效果也不太理想。近世代数课程教学内容、教学方法和教学手段等方面的改革探索有助于学生更好地学习该门课程。要改革课程内容，构建新的课程体系；要探索多元化的教学方法：要探索过程化多维考核评价方式。

关键词：近世代数；教学内容；教学方法；考核方式

近世代数是现代数学的一个重要分支，是以代数系统为主要研究对象的一门学科。近世代数中群、环、域的基本理论和思想方法对培养学生的抽象思维和逻辑推理能力有重要的作用，也为其他专业课程的学习奠定基本的数学素养的基础。随着社会的不断发展与实际的应用需要，近世代数的基本理论和基本思想方法已经逐渐渗透到科学领域的诸多方面。近世代数课程不仅是数学与应用数学专业的一门专业必修课程，而且为现代化科学技术人员奠定必需的数学基础。因此，近世代数中的基本代数思想无论是对学生学习后续的数学课程，还是对从事其他学科的研究工作都有重要的作用。

一、近世代数课程面临的現状

近世代数的研究对象是带有运算的集合，它把集合中运算的共同特点抽象出来，作为不同的代数结构进行研究。这门课程主要介绍群、环、域的基本概念和基本理论，有助于提高学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。然而，近世代数课程概念多、理论性强、内容抽象，数学专业的本科生和研究生在学习这门课程时都经常会感到生涩难懂、枯燥乏味，这直接影响了学生对近世代数课程以及后继相关数学课程的学习。

近年，国内很多学者及教育专家对近世代数课程的教学越来越重视。为此，笔者针对近世代数课程教学内容比较抽象、学生学习起来相对困难的实际问题，逐步对近世代数课程在教学内容、教学方法、教学手段和考核方式方面进行教学改革的实践与探索，且取得了较好的效果。

二、近世代数课程教学改革的思考

近世代数因高度的抽象性和严密的逻辑性使初学者“望而生畏”，从而很难掌握运用近世代数的基本理论和基本思想方法来处理或解决实际问题的能力，进而直接影响了后继课程的学习热情，也给数学任课教师的教育教学工作带来了严峻的考验和挑战。另外，通过对往届学生的问卷调查，我们发现大部分学生在该课程考试结束后，对于群、环、域等方面所学的相关知识几乎没有深刻的印象，更无从谈起理解和掌握近世代数课程基本的精髓和实质了。因此，作为地方本科高校数学教师，如何根据数学与应用数学专业的培养目标，结合学生实际的数学素养来组织教学工作，是一个重要的课题。

（一）改革课程内容，构建新的课程体系

首先，高校要选取适合数学与应用数学专业特点和本科学生的教材。根据该课程教学大纲要求，课程组专家通过对国内优秀近世代数教材的调查，最后确定采用张禾瑞编著的《近世代数基础》（修订版）。但是该教材部分内容比较简洁抽象，例题较少，课后练习题较为容易，并且部分例题和习题与高等代数等相关基础课程的联系不够紧密。所以，我们又选定两部参考教材，分别是高等教育出版社在1999年出版的刘绍学主编的《近世代数基础》和2006出版的胡冠章、王殿军主编的《应用近世代数》。然后，我们从中挑选部分适合本科生认知并且容易理解的例题和习题作为补充，从而使得教学内容更加丰富。另外，我们还努力开发和利用优秀的网络课程资源，进一步拓展了学生的学习空间。

近世代数以代数系统为主要研究目标，教材编写时把集合中元素运算的规律和特点抽象作为不同的代数结构来研究，且将较为熟悉的函数、矩阵、多项式、变换等作为数学对象去研究，这样就把数学知识的背景和来源掩盖了，致使课程内容生涩难懂，概念背景匮乏并且缺乏与现实世界的联系。为此，我们在编写讲义时，要抓住时代发展的脉搏，加强近世代数中相关知识的应用性，并增加大量的应用实例，拓展近世代数知识的应用性。比如，在编写域相关知识时，可以适当增加有限域、正规扩域等内容，它们对计算理论、信息安全等领域有着重要的应用。还可以借助多媒体向学生介绍近世代数在物理理论、分子化学、编码等领域的应用，让学生看到该理论巨大的应用价值，激发学生的学习兴趣。

根据数学专业培养对象的实际情况，理顺课程体系，注意将讲授的内容与高等代数之间的联系理清楚，遵循学生认知规律，充分利用学生已有的代数知识结构，去构建近世代数课程中的新概念及其性质。比如，在编写整环中因子分解讲义内容时，可以把整除、唯一分解、最大公因子和不可约多项式等结论看作高等代数课程中类似结论的推广及应用，从而清晰地让学生认识到近世代数课程是高等代数的后继课程，也是中学代数的深化与提高，同时还可以通过对经典定理的严格证明的训练，进一步提升学生的逻辑思维和抽象思维能力。另外，我们通过介绍整数的乘除理论、同余理论等内容，让学生在学习初等数论课程的新概念时不至于感觉太突然和生疏，并且对学校数学与应用数学专业的学生的教学实践也说明了这些数论知识对近世代数课程的学习都起到了非常重要的作用。

（二）探索多元化的教学方法

在近世代数课程教学中，我们以传统教学方法为基础积极探索多种教学方法，并用来调动学生学习的积极性。在近世代数课程的教学中，教师可以通过讲解数学史来激发学生的学习兴趣。近世代数课程的抽象程度较高，又和现实生活联系较少，因此，教师在课堂教学过程中要注意概念引入的自然性，并且要加以深入的解释，让学生知其然并知其所以然。教师还可以适时地穿插讲述代数学科的历史渊源和理论发展的过程以及和其他学科的联系。这样不但可以拓宽学生的学科认识，而且还培养了学生学习的兴趣和激情。比如，教师可以适当地选取伽罗华、凯莱、戴德金和庞加莱等数学家的逸事、代数学界最近的研究现状及所发生的一些事情讲给学生，以激发他们学习的兴趣与热情。

在近世代数课程教学中，教师可以通过引导学生分组学习与讨论来促进学生积极思考，增强教学的吸引力，从而激发学生的学习动机，提高教学效果。比如，在学习群的概念时，教师对学生进行合适的分组学习与讨论，这样更容易拓宽学生的思维，引发学生进行更多思考。在学生讨论结束后通过随机抽查的方式来调动每个学生的积极性。

在近世代数课程教学中，教师还可以通过合理引导学生进行知识迁移来培养学生的数学创新能力。近世代數是高等代数的延伸，其中有很多知识是高等代数的平行推广，故把近世代数课程的讲授与高等代数课程紧密联系起来可以达到事半功倍的教学效果。事实上，近世代数与中学数学、数学分析、解析几何和高等代数等课程有着紧密的联系，在近世代数课程教学过程中，教师要积极引导学生用已有的代数知识去构建新的代数知识体系，让学生在学习近世代数课程的过程中深入理解其知识结构，培养学生的代数学科素养，帮助学生降低学习的难度。比如，在列举群的实例时，除常见的数域外，教师还可列举与数学分析、解析几何和高等代数课程相关的实例。又如在引入同构概念之前，教师可以让学生回忆三角形全等的概念和判定方法，实际上，三角形全等是建立两个三角形的顶点与边的一一对应，并且还保持它们两个点的运算结果。这样两个代数系统的同构本质上就是它们之间可以建立一一映射，并且该映射保持这两个代数系统的所有运算，从而让学生清楚地认识到他们已经在无意中接触过比较抽象的代数知识了。

在近世代数课程教学中，教师还可以根据课程内容合理利用计算机辅助教学。近世代数课程的教学主要是讲解基本理论的证明，内容比较抽象且讲解方式比较单一，学生学习起来会感到冗繁枯燥。因此，我们根据课程内容特点可适当地利用计算机辅助教学，如运用GAP、Magma等近世代数相关的数学软件。另外，我们还可以搭建网络平台积极促进第二课堂的开展，如正在筹建的“平院数学微助手（第二课堂）”，秉承坚持资源共享、共同进步的原则，主要用来推送经典本科数学类网络课程与学习资料。

（三）过程化多维考核评价方式的探索

课程考核是教育评价体系的核心，是提高教学质量、检验教学效果和培养合格人才的重要手段。课程考核不但检验学生对所学知识的掌握程度、学习态度，而且还检验教师的教学水平、教学态度，同时还是学校教学质量监控体系的重要组成部分。

在2012年之前，学校数学与应用数学专业近世代数课程最终的综合成绩由平时成绩（考勤、提问、平时作业）和期末考试卷面成绩两部分构成，其中期末考试卷面成绩占70%。由下表知，三个年级近世代数课程平时成绩的差异系数较低（1.52），而期末考试卷面成绩（27.46）和综合成绩（16.84）的差异系数都较高。这说明学生的平时成绩差异不大，不一定能反映出学生的真实水平。由下图知，2011级数本（1）班近世代数课程期末考试卷面成绩与综合成绩接近正相关，平时成绩起到的作用就是提高学生的及格率。

针对课程考核中存在的问题，我们尝试进行过程化多维考核评价方式的改革，把原来的考核方式和方法分散到各个学习过程的节点进行控制，将考核贯穿到日常教学和学习之中，做到考核过程化、阶段化和形式多样化，以达到对教学全过程的质量监控的目的，充分调动学生学习的主动性和积极性，从而促进学生重视近世代数课程的整个学习过程，进一步提高学习效果和教学质量。

近四年的实践证明，专业课程过程化多维考核改革对促进学生学习、提高教学质量、培养高素质人才起到了重要的作用。总的来说，地方本科高校课程考核改革势在必行。

三、结束语

笔者针对学校近世代数课程的特点，结合平顶山学院数学与应用数学专业教学的实际情况，探讨了近世代数课程教学内容、教学方法、教学手段和考核方式等方面的改革，并取得了良好的教学效果。然而，近世代数课程教学改革是一项长期的研究课题，如何进一步提高近世代数的教学质量和教学效果，还需要大家共同努力。

责编：夜雨