从一道高考题的思考看功能关系

北京 张祖志 张耀丹

功是能量转化的量度。不同力做功会引起不同形式能量的转化，如重力做功引起重力势能的变化；弹簧弹力做功引起弹簧弹性势能的变化；除重力和弹簧弹力外其他力做功引起机械能的变化；合外力做功引起动能的变化；电场力做功引起电势能的变化等。

在从能量角度解决物理问题过程中，我们一般按照下列步骤操作:

1．确定研究对象及其运动过程；

2．明确在研究过程中发生了哪些能量的转化；

3．确定在研究过程中有哪些力做功及做功多少。

下面我们就通过事例探讨功和能量转化的关系。

【题目】(2017·全国卷Ⅰ第24题)一质量为8.00×104kg的太空飞船从其飞行轨道返回地面。飞船在离地面高度1.60×105m处以7.5×103m/s的速度进入大气层，逐渐减慢至速度为100 m/s时下落到地面。取地面为重力势能零点，在飞船下落过程中，重力加速度可视为常量，大小取为9.8 m/s2。(结果保留两位有效数字)

(1)分别求出该飞船着地前瞬间的机械能和它进入大气层时的机械能；

(2)求飞船从离地面高度600 m处至着地前瞬间的过程中克服阻力所做的功，已知飞船在该处的速度大小是其进入大气层时速度大小的2.0%。

由①式和题给数据得Ek=4.0×108J ②

由③式和题给数据得Eh=2.4×1012J ④。

(2)飞船在高度h′=600 m处的机械能为

由功能关系得W=Eh′-Ek⑥ (式中W是飞船从高度600 m处至着地瞬间的过程中克服阻力所做的功)

由②⑤⑥式和题给数据得W=9.7×108J ⑦。

【争鸣】飞船在刚进入大气层的位置处，其距离地面很远,重力加速度是否还能取9.8 m/s2？我们根据万有引力知识证明一下。

如果想得到一个相对来说更准确的数值，那么需要知道地球的质量M=6×1024kg，地球半径R=6.4×106m，万有引力常量G≈6.67×10-11N·m2/kg2。

现有一质量为m的太空飞船从其飞行轨道返回地面。飞船在离地面高度h处以v0进入大气层，之后速度逐渐减慢，最终以0.02v0的速度下落到地面。太空飞船下降过程中重力加速度的变化不能忽略不计，取地面为重力势能零点，地面附近的加速度大小取为g。

(1)求出该飞船着地前瞬间的机械能；

(2)求飞船从进入大气层至着地前瞬间的过程中克服阻力所做的功；

(3)点电荷间库仑力的表达式在形式上和万有引力的数学表达式相同。如图所示，一个质子轰击α 粒子的情境图，质量为m质子在距离α 粒子r0的A处速度大小为v0，那么当它距离α 粒子r的B处时速度是多大？

【解析】(1)因为规定地面的重力势能为零，所以飞船到达地面时所具有的机械能就是着地时的动能，即为

(2)由题中信息可以知道飞船从距离地面h处至到达地面过程中万有引力做的功为

这一过程中利用动能定理可得WG+Wf=ΔEk

该过程中阻力做的功为

飞船克服阻力做的功为

(3)质子从A点运动到B点过程中，电场力所做的功为

因为Q=4e，q=e，所以电场力做功为