有结构地教数学

林传忠

（厦门市湖里区教师进修学校，福建 厦门 361009）

结构是指组成整体的各部分的搭配和排列，它是决定事物性质的重要因素。知识都是结构化之后的产物，大到各学科的知识体系，小到一篇文章、一个学习内容都无例外。同样，能够保存在学生头脑中的知识也是经过学生内部思维结构化的知识，没有经过内部结构化的知识是无法进入学生知识体系的，即使进入了，也会在一段时间之后忘记的。

数学是一门逻辑性很强的学科，知识的结构较为突显。为了让学生学习知识有结构，那么平时教学就要有结构。但目前很多教师在教学中却很少思考这个问题，以致产生以下的教学现象：

缺乏结构的教。教材有其内在的逻辑，但教材在编写时，只能按课时对学习内容进行切割，所以每节课的内容看起来是相对独立的，易使教师拘泥于具体内容的“就课论课”，缺乏对教学整体的把握。[1]由于很多教师并没有理解知识内在的结构，在教学时只是按照教材的课时安排，按部就班、一课一课地进行，教学内容缺乏内在联系，学生学到的是零散的、没有结构的知识，学生学得累，学习效果差。

缺少能力的教。数学教材在编排时虽是以知识内容来呈现，但能力培养是蕴含其中的，而能力的形成是一个过程性的产物，无法用知识直接呈现出来，如果知识的学习是一条明线，那么能力的形成就是一条暗线，很多教师只关注明线，却忽视了暗线，结果学生从一年级学习到六年级，没有形成良好的学习能力，离开了教师就不会学习。或是教师在教学过程中没有明确的能力培养意识，时有时无，没有持之以恒，没有循序渐进，结果能力也无法形成。

布鲁纳认为结构化学习有以下重要的意义：一是结构性的内容才能使学生理解；二是有结构性的内容才会在学习后期保持不容易遗忘；三是学生从结构化中学到的原则原理将有助于在未来类似的情境中产生正向的学习迁移；四是从结构性知识中学到原理原则后，可以培养学生探究的能力，以便从事独立研究获取更高层次的知识。

为此，数学教学内容选择与设计要有结构，教学过程实施也要有结构。

一、设计有结构的教学

数学知识之间有着内在的逻辑关系，先前的知识是后续知识学习的基础，后续的知识是先前知识的发展与延伸。这样的联系除了体现在知识内容上，还体现在数学思想方法的联系上。在教学设计时要站在更高一个层面来思考与把握，努力实现教学内容与过程的结构化。

1.形成知识内容结构

要形成知识内容结构，在设计某个教学内容时，可以思考以下几个问题：（1）本课要学习的知识与之前、之后的什么知识有联系?（2）这些联系能为本课的学习起什么作用?（3）怎样去设计有结构的教学?通过对以上三个问题的思考，对教学内容进行“前瞻后顾”，使要教学的内容能纳入学生已有的知识逻辑结构之中。

如教学《三角形的高》，在此之前学生已学过了平行四边形的高和梯形的高，平行四边形的高定义是“从平行四边形一条边的一点向对边引一条垂线，这点与垂足之间的线段叫作平行四边形的高，垂足所在的边叫作平行四边形的底”。再看三角形高的定义是“从三角形的一个顶点到它对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高，这条对边叫作三角形的底”，可见，“高”的本质就是线外一点到这条线的垂线段。之后还要学习长方体、正方体、圆柱、圆锥的高，这些高的本质都是一样的。理解这个之后，三角形高的教学便做如下设计：

（1）请画出平行四边形、梯形底（图略）上的高，然后说一说什么是平行四边形的高、梯形的高?

（2）根据平行四边形的高的画法，你能画出下面三角形（图略）的高吗?说一说你为什么这样画?

（3）说一说什么是三角形的高？

（4）比较一下平行四边形的高与三角形的高，有什么相同点与不同点?

以上的教学设计就是立足于已学过知识的基础上展开的，这样三角形的高就不再是一个单独的概念，而是与平行四边形的高、梯形的高建立起了联系，形成了知识结构。到后面长方体、正方体、圆柱、圆锥的高的教学时，也可以联系之前学习的高，这样小学阶段学习的各种图形的高就形成了一个结构，学生对高的本质理解就深刻了。

像这样的知识在小学中比比皆是，比如：商不变性质、分数基本性质和比的基本性质；除数是一位数的除法和除数是两位数的除法；多位数乘一位数、两位数乘两位数和三位数乘两位数口诀等。这些知识之间都有内在联系，在教学设计时如能进行前后勾连，这样知识就形成结构了。

2.形成数学思想方法结构

数学内容除了知识上有内在联系外，更重要的是数学思想方法的联系。数学思想方法是数学的精髓。日本著名数学家米山国藏说过：“作为知识的数学出校门不到两年就忘记了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益。”掌握了数学思想方法并形成结构，学习数学就抓住了本质。

如在教学长度单位的度量、角的度量、面积的度量、体积的度量时，这些度量的基本思想就是：一要有统一的计量单位；二是看被测量的物体含有多少个这样的单位；三是计量单位既是测量的单位，也是被测量的对象。所以在教学设计时就要抓住度量的基本思想，建立起度量的方法结构。如在设计《角的度量》一课时，便可做如下设计：

（1）下面两条线段（图略），哪条长些?你可以怎样知道?

引导学生得出，想要得到准确结果就要通过测量，就要有单位。看测量的物体有多少个这样的单位。

（2）下面两个角（图略），哪个角更大些?你可以怎样知道?

在学生思考的基础上，引导学生对比刚才比较长度的做法，让学生产生这样的想法：要比较这两个角的大小，就要进行测量，要测量就要有单位。这个想法很重要，可以说是测量的本质。然后引导学习角的单位“度”，接下来的教学就水到渠成了。

以上的设计旨在沟通度量的本质，建立起思想方法结构。有了这样的结构之后，学生在学习面积和体积等测量时，包括在面对不同测量内容时，学生在思维上就能主动产生并运用这样结构去思考解决问题，度量这个数学知识就活起来了。

类似这样的思想方法联系的内容有很多，如整数加减法、小数加减法和分数加减法教学中，整数加减法要求数位对齐，小数加减法要求小数点对齐，分数加减法要化成同分母，加减法的最本质的要求就是相同计数单位的数才能直接相加减。又如人教版二年级下册第2单元《2—6乘法口诀》和第4单元《7—9乘法口诀》的教学，其本质就是把求几个相同加数的和的乘法式子用语言表达出来。

在对教材进行解读设计时，要透过教材表面找到内在数学思想方法，并建立内在结构，这样学生学习才能不断地知其然，又知其所以然，对于数学思想方法的理解才能更为丰富与深刻，随着活动经验的不断积累，学生的学习就逐渐有章法起来，学习效益就会提高。

二、实施有结构的教学

数学教材从外在来看是一节一节地安排，呈现出来的是静态知识，但在实施教学过程中，要有结构化的思考。结构化教学在具体实施中可从两个层面落实：横向结构教学层面和纵向结构教学层面。横向结构教学层面是指在一节课的教学中，要把知识与技能的学习、数学能力的训练、数学思想方法的培育、数学学习情感的引导等方面，有结构地融入一节课的教学中，尽可能提高一节课的厚度与品质，实现学生全面发展，横向结构教学层面追求的是一种广度。纵向结构教学层面是指在教学时循序渐进地推进同一种思想方法、同一板块的内容落实，形成由低向高，由单一向综合的目标达成的教学结构，从而促进学生能力、思想方法等可持续性的发展，纵向结构教学层面追求的是一种深度。

（一）横向结构教学——实现整体目标

一节课的教学不能只满足于知识技能目标的达成，而应是在达成知识技能目标的同时，把能力培养、数学思想有机地融入其中，从而实现整体目标的达成。下面以《平行四边形面积》一课的教学为例，谈谈如何在知识与技能教学中落实整体教学。

1.推理能力的培养。教学时先给出一个平行四边形的草地，让学生说说该如何算这块草地的面积，学生可能会得出“平行四边形的面积=底边×邻边”的结论，这时不要马上去评价这个结论的对错，而是要问：你为什么会这样想？让学生说出思维的依据，学生可能会说出：长方形是特殊的平行四边形，长方形的面积是长×宽，是两条邻边相乘的结果，那么平行四边形的面积也可能是两条邻边相乘的结果，所以就可以得出“平行四边形的面积=底边×邻边”。学生这样思考是有理有据的，从推理的角度上看，这个过程就是一个类比推理，即从特殊到非特殊的过程。有了这个理解，当学生提出“平行四边形的面积=底边×邻边”这个结论时，不可因学生得出的结论是错误的，而否定了推理的过程，而应是充分挖掘其思维价值，并给予方法肯定与引导：刚才这位同学根据平行四边形与长方形的内在关系，通过长方形的面积计算公式，大胆且有据地推测“平行四边形的面积=底边×邻边”，虽然结论是错误的，但思考的方法是非常正确和有价值的，这也是创新的开始。这样就把推理能力培养融入其中了。

2.转化思想的培养。学生猜想“平行四边形的面积=底边×邻边”之后，发现猜想是错误的。这时教师可以引导：我们已学过了长方形的面积计算，看看能不能把平行四边形转化成长方形呢？在此启发下，学生便能将手中的平行四边形转化成长方形，学生可能转化成以下几种情况（参见图1）。

图1 平行四边形的转化

教师在此基础上提问：为什么要转化？为什么要转化成长方形？为什么要沿着高剪？学生对这些问题的回答达到以下几个目的：因为平行四边形面积计算是未知的，所以要转化成已知的；明确转化本质的要求是把未知的转化成已知的；要转化成长方形，四个角必须是直角，要形成直角，必须沿高来剪。学生通过动手实现转化，又通过回答问题进一步明确如何转化与为什么要这样转化，这样学生对于转化思想方法就知其然又知其所以然了。

3.空间观念的培养。当学生完成平行四边形面积推导后，教师让学生闭上眼睛，教师用语言说推导的过程，学生在脑中想出推导图形的变化过程：一个平行四边形，现在沿着高剪下，然后把剪下的部分平移，与剩下的图形拼成一个长方形，这时平行四边形的底相当于长方形的长，这时平行四边形的高相当于长方形的宽。教师在说的时候语速放慢，让学生有足够的时间在脑中想象相应的图形及变化的过程，这个过程不仅强化了学生对平行四边形面积公式由来的理解，还有效培养了学生的空间观念。

通过以上的教学，我们可以看到，这节课除了知识教学之外，还对学生进行了推理能力、转化思想、空间观念的培养，这节课内涵就丰富了。

一节课除了表层的知识之外，还蕴含着数学能力、数学思想方法、数学文化等内容，教师在教学时要有整体的意识，尽可能地发掘这些内容并在知识的教学过程中加以落实，从而形成一个立体的教学结构，达成全面培养学生数学核心素养的目标。

（二）纵向结构教学——达成深度落实

数学学习就是不断去发现问题、解决问题的过程。学生数学能力与方法就在解决问题的过程中不断形成、内化与发展。如果教师在教学过程中，只是通过讲解的方式让学生理解，学生的能力是无法形成的，能力只有在具体解决问题的过程中才能形成与发展。培养学生能力的基本过程是：教师讲解，学生理解——学生模仿，尝试运用——掌握方法，解决同质问题——运用方法解决非同质的问题。良好的能力不是经过一次或几次的训练就能达成，而是要通过不断的运用，才能得以不断地强化与灵活化，实现能力由弱到强的发展，解决问题的经验才能不断得以积累。为此，在教学过程中，就要寻找学习相关知识背后的能力与方法，并建立起循序渐进的培养结构，分层次地持续进行培养，让学生在学习知识的过程中理解方法、运用方法、内化方法，这样学生才能逐渐提高能力。课程论专家江山野也指出：整个教学过程也就是一个“从教到学”的转化过程。在这个过程中，教师的作用不断转化为学生的学习能力。

转化思想方法是小学数学教学要培养的重要思想方法，在小学知识学习中有着广泛的运用。学生形成了良好转化思想之后，在面对未知的问题时，就能自觉地采取转化的方法来尝试解决。但转化思想的形成不是一两节课就能完成的，而是在不断运用转化思想解决问题的过程中形成与内化的。现在以图形与几何领域中面积公式教学内容为例，谈谈如何进行纵向结构教学（参见表1）。

表1 面积结构公式的纵向结构教学

从表1可以看出纵向结构教学的情况：教学过程随着内容的变化不断增加了学生自主运用转化思想方法的时空间，教学方法也相应发生变化，体现由扶到放、由放到创的过程，教学目标及具体的转化方法上也体现出不断提升与丰富的趋势。通过纵向结构教学，学生转化思想方法就能由理解到内化，从内化到运用，从一般性运用到创造性地运用，不断丰富学生运用转化思想方法解决问题的活动经验，当学生再次面对未知问题时，转化数学思想方法就能很容易从学生思维中提取出来，成为一种活的知识与能力。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出：数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。[2]为此，数学教学要有整体意识、结构化意识，设计有结构的教学内容，实施有结构化的教学，从而促进学生知识与技能、能力与素养、经验与情感全面而深刻的发展。▲