共振条件下具有奇异性和无界扰动Duffing方程的周期解(下)

马田田 张铁荟 黄 艳

(1.首都师范大学，北京 100048; 2.济宁学院初等教育学院， 山东 曲阜 273165; 3.枣庄职业学院基础教学部，山东 枣庄 277800)

3 相关引理的证明

3.1 引理2.4的证明

则

因此, 对任意t,s∈[0,2π],

进而可得

η(0)-υ≤u(t)≤u(0)+υ,t∈[0,2π].

由此可知

t∈[0,2π].

由于当x>0充分大时，F(x)是严格递增的, 故对充分大的正数c, 存在a=a(c),b=b(c)(0

从而有

(8)

及

由此可知存在ξ∈(a,b)使得

由条件(h4) 和 (h5) 可知存在正常数ζ使得当c>0充分大时,

|b-a|≤ζ.

(9)

进而有

|c-a|≤ζ,|b-c|≤ζ.

(10)

由(8)可知

2F(a)≤y2(t)+2F(x(t))≤2F(b),t∈[0,2π].

(11)

根据(11)可得F(x(t))≤F(b),t∈[0,2π]. 由于当x>0充分大时，F(x)是递增的, 故当cosθ(t)≥0且c充分大时，

0≤x(t)=r(t)cosθ(t)≤b,t∈[0,2π].

由 (11)式进一步可知

n2a2+8G(a) ≤4y2(t)+n2x2(t)+8G(x(t))

≤n2b2+8G(b),t∈[0,2π].

因此，

n2a2+8G(a) ≤n2r2(t)+8G(r(t)cosθ(t))

≤n2b2+8G(b),t∈[0,2π].

进而有

t∈[0,2π].

(12)

由条件(h4) 和(h5) 可知对任意ε>0, 存在正常数c1,c2使得当x∈[0,+∞)时，

-c1≤G(x)≤εx2+c2.

从而当t∈[0,2π] 且cosθ(t)≥0时，

-c1≤G(r(t)cosθ(t))≤εr2(t)+c2.

(13)

由(12)和 (13)可得

(14)

根据(9), (14) 和(h5)可知存在0<μ1<1, 0<μ2<1使得当cosθ(t)≥0且c>0充分大时，

(1-μ1)a2≤r2(t)≤(1+μ2)b2,t∈[0,2π].

成立.

3.2 引理2.5的证明

证明由[15]中的结果可知当c→+∞时，估计式

t2-t1=o(1)

对任意(x0,y0)∈Γc一致成立. 下面, 我们将给出t2-t1的更精确估计. 为此，仍用引理2.4中的记号.令

不失一般性，假定

f(x)<0,x∈(-1,0).

因此，对任意充分大的c>0, 存在唯一的d(c)∈(-1,0)使得

F(d(c))=F(c).

从而，存在-1

F(d(a))=F(a),F(d(b))=F(b),

这里a和b是引理2.4中给出的常数. 从 (11)可以得到

2F(d(a))≤y2(t)+2F(x(t))≤2F(d(b)),

t∈[0,2π].

故有

2(F(d(a))-F(x(t)))

≤y2(t)≤2(F(d(b))-F(x(t))).

(15)

设ta,t*∈[t1,t2] 满足ta

从而

(16)

记

接下来，我们分别估计I1和I2. 因为g(x) 是局部李普西茨连续的, 所以g(x) 在(-1,0)上几乎处处可导并且g′(x) 在(-1,0) 的任一个闭子区间上勒贝格可积.由I1的表达式可知

由[3]的结果可知

这里

因此,

从而有

又由于a

(17)

根据I2的表达式可知

从而

这样，我们得到

(18)

根据条件(h5)可得

(19)

从而，根据(18)和(19)可得

进而，当c→+∞时，

(20)

根据(17)可知当c→+∞时，

结合(20)可得

(21)

由 (16), (17)和 (21)可知当c→+∞, 估计式

(22)

对于任意 (x0,y0)∈Γc和λ∈[0,1]一致成立.接下来估计t*-ta. 因为x′(t*)=y(t*)=0, 所以对于t∈(ta,t*),

由此可得

≥ 2(F(x(t*))-F(x(t)))+

2‖p‖∞(x(t*)-x(t)),

这里 ‖p‖∞=max{|p(t)|:t∈[0,2π]}. 因此,对于t∈(ta,t*),

-x′(t)≥

进而，

≥1.

积分可得

≥t*-ta,

(23)

结合(23)得到

(24)

由(22)和 (24)可知当c→+∞时， 估计式

关于任意 (x0,y0)∈Γc和λ∈[0,1]一致成立. 类似可得

因此，估计式

关于任意 (x0,y0)∈Γc和λ∈[0,1]一致成立.

3.3 引理2.6的证明

证明定义W:(-1,+∞)×R→R,

设t*∈(t1,t2) 满足x(t*)=max{x(t)|t1≤t≤t2}. 则

y(t*)=0;y(t)≥0,t∈(t1,t*);

y(t)≤0,t∈(t*,t2).

因此，对于t∈(t1,t*), 有

W′(t)=(λp(t)+‖p‖∞)y(t)≥0.

从而W(t)在区间(t1,t*)上是递增的.于是, 当t∈(t1,t*)时，

w(t)≤w(t*),

由此可知

y2(t)≤2(F(x(t*))-F(x(t)))+

2‖p‖∞(x(t*)-x(t)).

这样，当t∈(t1,t*)时，

x′(t)≤

进而,

≤1.

在区间(t1,t*)上积分上述不等式可得

≤t*-t1,

这里x*=x(t*). 由条件(h5)可推知当x*→+∞时，

(25)

记

则当t∈(t1,t*)时，

由此可知当t∈(t1,t*)时，

y2(t)≥2(F(x(t*))-F(x(t)))-

2‖p‖∞(x(t*)-x(t)).

进而,

x′(t)≥

因此,

在区间(t1,t*)上积分上述不等式可得

≥t*-t1.

(26)

因为当x*→+∞时，

(27)

所以，

类似可得

因此，当x*→+∞时，

根据引理2.4可知

(28)

从而当c→+∞时，

由条件(h4) 可知对于任何充分大的常数A>0, 存在a>0使得

g(x)≥A,x≥a.

记

=J1+J2,

这里

下面分别估计J1和J2. 首先，易知当x*→+∞时，

(29)

对于x∈(a,x*), 有

2(F(x*)-F(x))-2‖p‖∞(x*-x)

因此，

通过直接计算可以得到

和

(30)

根据 (26), (29) 和 (30),我们得到

类似地可得

因此，当x*→+∞时，

(31)

由于B=2(A-‖p‖∞) 而A是一个可任意大的常数，故由(28)和 (31)可知对任意充分大的α>0, 存在c0>0 使得对任意c≥c0, 有

4 定理1.1的证明

证明我们将应用引理2.1 来证明定理1.1. 为此，只需证明存在一个正常数ζ 使得若x(t)是方程(5)的一个2π周期解, 则有

x(t)≤ξ,t∈[0,2π].

(32)

令α(>5) 是一个固定常数. 由引理2.6可知当k充分大时,

(33)

(34)

根据(33)和 (34), 对于充分大的k,

由此可知j>n. 另一方面, 由引理2.5和引理2.6可得

故有j