自动控制原理课程中的频域分析法的教学探讨

贺容波 张捍东 张世峰 孔庆凯

本文对自动控制原理课程中频域分析法的教学内容和教学方法进行了初步探讨。着重讨论了系统频域分析内容的主要特点和教学重难点，并列举了教学实践中普遍存在的问题，归纳总结了产生这些问题的内在原因。并从这些原因入手，有针对性的提出了一些改进的教学方法和建议。为了能够更好地将所述方法应用于实践，笔者通过一个教学案例，详细阐述了上述教学方法的应用。

1 頻域分析方法的特点

频率响应分析法的基本思想是把控制系统中的所有变量当作一些由不同频率的正弦信号所合成的信号来处理，其理论基础为傅里叶变换。由线性系统的叠加原理，可以得到各个变量的运动响应就是系统对不同频率信号的响应总和。这种方法的引入克服了直接用微分方程研究系统的困难，解决了许多理论问题和工程问题，迅速形成了在频率分析和综合的整套方法，即频率响应分析方法。相比于其他分析方法，其具有以下几个方面特点：

1）频率响应方法的物理意义鲜明。按照频率响应的观点，一个控制系统的运动无非是信号在一个一个环节之间依次传递的过程；每个信号又由一些不同频率的正弦信号合成；在传递过程中，这些正弦信号的振幅和相角依严格的函数关系变化，产生形式多样的运动。与把控制系统“一揽子”地表示成一组微分方法的做法相比，频率法的因果概念显然更强，更容易理解，特别是便于启发人们区分主要因素和次要因素，进而考虑改善系统性能的办法。

2）可以用实验方法求出对象的数学模型。这一点在工程上价值很大，特别是对于机理复杂或机理不明而难以列写微分方程的对象，频率响应的观点提供了重要的实验处理方法；

3）频率响应法的大部分工作可用作图完成。图解法的使用使它有较强的直观性，也便于研究参数变化对系统动态性能的影响，便于工程应用。

2 频域分析方法的教学内容

控制系统的频域分析部分的教学内容主要包括：频率特性的基本概念；典型环节的频率特性、伯德图和奈奎斯特曲线表示；奈奎斯特稳定性判据；控制系统的相对稳定性。上述五个方面构成了频率法理解掌握的核心，其中频率特性是本童的基础，贯穿始终；伯德图和奈奎斯特曲线是频率特性的表现形式，需要掌握其绘制技巧；奈奎斯特稳定性判据是频率特性在系统稳定性分析中应用，是本章的难点，其结论表现形式依据频率特性的不同图形表现形式有不同的表述。经过长期的教学实践，学生在学习频域分析法时容易出错和难理解的内容可以概括为以下几个方面：

1）频率特性的定义

系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应。该定义包含以下三个方面：系统必须满足稳定条件；输入信号为正弦信号或余弦信号，一般教材上以正弦输入信号为例，但是需要明确余弦信号也同样适用；响应指的是稳态响应。学生在理解上容易出现偏差，如输入信号容易误认为正弦信号而忽略余弦信号、把系统稳态相应片面的看成系统响应除此以外分清楚开环频率响应和闭环频率响应的关系。

2）奈奎斯特曲线及其绘制

在复平面上，当ω由0～∞变化时，向量G（ jω）端点的轨迹，称为幅相频率特性图即极坐标图通常又称为奈奎斯特图。在绘制时要注意奈奎斯特曲线只是依据频率特性G（ jω）绘制的概略曲线，要注重它的起点、终点和中间点（与实轴的交点或与虚轴的交点）的求取，其他部分则不必关心。然而，学生在绘制该曲线时则采用给定频率计算频率特性的取点法绘制，这种方法忽略了绘制的G （jω）是概略曲线的事实。

3）伯德图及其绘制

传统坐标系标度都是以十进制为单位，而伯德图m轴是对数频率特性坐标系标度，其以对数刻度来表示十进制单位中的距离1，相较于线性坐标对数坐标系的引入有以下两方面的优势：1）可以方便在频率域中对系统的观察，其突出的优点在于，对数坐标能够把小区间放大，大区间缩小，如区间[0.01 0.1]和[10 100]在对数坐标上所占的距离大小都是1；2）同时，系统的参考信号大都是低频信号，噪声信号为高频信号，因而实际分析中要对低频段进行放大，高频段进行缩小，这样对系统感兴趣的频段进行分析。3）对数坐标的引入，有利于用分段线性函数对频率特性进行逼近，方便了频率特性的图形表示。

在伯德图的对数幅频特性绘制上也是采用近似的方法，即将相应的传递函数在不同频率范围内近似成由比例和积分环节组成的传递函数，在依据近似的传函来绘制渐近对数幅频特，因而表现出分段特性。这一技巧的灵活使用是绘制伯特图的基础，部分同学由于对这种方法缺乏理解，导致在绘制对数幅频特性无从下手。

4）幅角定理的理解

在讲解奈奎斯特稳定判据的时候，首先要介绍幅角定理，特别要强调该定理的条件和结论。在幅角定理的条件—一“在s平面上封闭曲线C域内共有P个极点和Z个零点，且封闭曲线C不穿过F（s）的任一个极点和零点”，要特别强调封闭曲线C中的P个极点和Z个零点是考虑重根数的和不穿过F（s）的任一个极点和零点；在结论部分—一“当s顺时针沿封闭曲线C变化一周时，在F（s）平面上对应的映射封闭曲线CF逆时针包围原点N=P -Z周”，要强调N>O逆时针，N

5）稳定裕度

学生对系统的稳定裕度具有思维定势，仍然局限在时域内，即认定特征值离虚轴距离越远，系统的稳定裕度越高。然而，若利用幅值裕度和相角裕度的概念来讲解稳定裕度时，尽管有数学指标作为参考，但是对这两个稳定裕度的理解仍然不够深刻。

根据调查分析，产生上述问题的客观原因主要有以下几点：（1）对频率特性的概念缺乏直观的了解，只停留在书本的公式推导上，然而学生对繁琐的数学公式推导难以理解，这直接影响了课程的学习和知识点的理解；（2）频率分析方法主要是图解分析方法，不论是伯德图的绘制还是奈奎斯特曲线的绘制都是一种近似，因而在两种图的绘制时如何快速的把握其绘制技巧是本章学习的关键。（3）课本中的例子很少涉及生活中的实际应用系统，使得学生误认为频域分析理论在实际过程之中没有应用价值，对这一部分内容学习兴趣下降。

3 频域部分的教学方法探讨

针对上述教学中普遍存在的问题，笔者建议采用如下有针对性的教学方法进行改进。

1）凝炼教学内容，突出教学主线

实践表明，一堂好的课并不在于教了多少知识，而在于学生掌握了多少知识，因而切实提高课堂效率才是决定教学方法成败的关键。频率分析法自身内容丰富，知识点多而杂，但是作为教学没有必要面面俱到，讲的太多很容易让学生形成走马观花的感觉，形成视觉疲劳，降低课堂学习效率。因而笔者认为在课堂教学前要有选择性的对重难点进行凝炼，对讲课内容进行选择，每次上课时最好能够用图和表格将本次课的内容集中地呈现给学生，使其在上课时对重难点有个全面的了解。教师在讲解过程中，保证在每一节课的讲授过程中，始终以一个知识点为主线带动其他知识点，这样可以加深学生的记忆，有益于学生对知识点的理解。

2）合理利用课堂教学时问，提高课堂学习效率

根据笔者的教学观察，在每一节课前20分钟的时间中学生的注意力最为集中，因而要充分利用这段时间。每堂课应该将大部分较难理解的理论知识集中在这一时间段讲解。在讲解理论知识时，应该要注重结合图形表格来阐述，使得理论形象化。在余下的时间，学生的注意力将有一定的分散此时，不断地采用例子对所讲授的知识点进行反复训练，甚至可以尝试让学生自己走上讲台练习。此外，还应当注重结合生活中的实际应用，利用前面的理论知识进行实例分析，从而提高学生的学习兴趣，增强教学效果。

3）充分利用多媒体手段强化课堂实践教学

现有的课堂教学主要以多媒体课件为主，在适当的加入板书，极大地丰富了课堂教学的信息量，提高了教学效率。然而據笔者观察，当前的多媒体课件多以图片、文字和公式静态影响为主，动态的部分并不多。为了调动学生的课堂学习气氛，并将课堂知识进行扩展，可以在多媒体课件中插入Matlab仿真和实验小视频，真正的让课堂教学的知识点动起来，让学生在课堂理论学习之余将其应用到实践中去，起到调动学生的学习兴趣，培养分析问题及决问题的能力。

4 教学实践

现在，我们对频域分析教学中存在的问题，归纳出相应的解决方法，大致分为以下三个步骤：凝炼教学内容，充分借助图或表格将课堂要点集中地呈现给学生，使其全面的了解重难点；争取在一堂课的前20分钟以内讲授完该节课有关知识点。通过多媒体手段，构建基于实际模型的例子，在进行理论分析之余，利用Matlab上进行仿真验证；进行实验教学，将理论知识实际化，使得学生懂得学以致用，最终理解所学习的知识点。下面以频域分析中的频率特性为例，给出一个具体的教学案例。

（1）阐述频率特性的基本概念

线性定常系统在正弦信号作用下，稳态输出的复变量与输入的复变量之比称为系统的频率特性，记为

幅频特性A（ω）= |G（jω）| -输出幅值与输入幅值之比：

相频特性φ（ω）=ω∠G（jω）——输出相角与输入相角之差。

该定义包含以下三个方面：系统必须满足稳定条件；输入信号为正弦信号或余弦信号；响应指的是稳态响应。

在定义的基础上对引导学生参照教材相关内容对上述公式进行推导。

（2）实例matlab仿真教学演示

通过仿真让学生直观感受频率特性的物理含义，从仿真结果验证频率特性公式推导的正确性。进一步，将系统的开环增益10调整为40，由Routh判据可知，此时系统不稳定，系统此时的输入输出曲线如图3所示。从图中可以看出频率响应是以系统稳定为前提的。

（3）通过搭建电路实验来进一步验证上述的理论分析结论的正确性。

笔者根据以往的教学经验以及自动控制原理课程的特点，总结了该课程频域部分教学中普遍存在的问题，并讨论了这些问题存在的原因。与此同时，笔者还有针对性地介绍了一些解决这些问题的方法。最后通过一个教学案例，阐述了如何运用所介绍的教学方法解决已有的教学问题。