“化整为零”在概率论教学中的应用

王晓

摘要：本文浅谈如何将“化整为零”的思想方法巧妙地融入概率论课程教学中，特别是在学习全概率公式以及随机变量分布函数这两个重要知识点过程中，同时强调该思想方法在该门课程中的重要性。

关键词：全概率公式；分布函数；离散型随机变量；连续型随机变量

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）26-0214-02

一、引言

笛卡尔在《方法论》[1]一书中指出对于复杂的问题，尽量分解为多个小问题来研究，一个一个解决，直至解决复杂问题，这就是“化整为零”的思想以及分析技巧。在概率论学习过程中，存在一些比较困难、难以掌握的问题，其中，全概率公式以及随机变量分布函数的确定一直是概率论课程教学中的重点和难点，学生们通常理解不到位。在全概率公式和随机变量分布函数的教学过程中，引入“化整为零”思维，也就是先了解整体，再把整体分割成部分，通过各部分问题的解决，最后解决整体问题的思想，向学生渗透“化整为零”的思想方法，有助于解决复杂的问题，方便学生掌握全概率公式以及随机变量分布函数。同时，提高学生对知识的应用能力，碰到复杂问题不会有那种无从入手的感覺，从而促进概率论课程的教学质量的提高，而且培养学生的数学品质与数学思维。

二、全概率公式

定义2.1[2]：设随机试验E的样本空间为Ω，A1，A2，…，An，…为E的一组事件，且满足：

（1）互不相容性：AiAj=？堙，i≠j，i，j=1，2，…；

（2）完全性： A =Ω；

（3）非负性：P（A ）>0；

那么对于E的任一事件B，有：

P（B）= P（A ）P（B|A ）. （1）

通常称公式（1）为全概率公式。全概率公式借助样本空间Ω的一种划分A1，A2，…，An，…，把一个复杂事件B分解成若干个互不相容的事件BA1，BA2，…，BAn，…，然后借助概率的加法公式，最后每一小事件BAi的概率由概率的乘法公式给出。显然：这些互不相容的事件BAi可以看作是组成个复杂事件B的各个小部分，当每小部分的概率计算问题解决了，整个问题进而解决。

这里，全概率公式采用“化整为零”的数学思维，在复杂的事件中把一个个小的知识点抽取出来，逐个一一突破，从而使复杂的问题轻而易举地解决，并且使解决问题的过程的条理也比较清晰。

三、随机变量的分布函数

定义3.1[3]：设X是一个随机变量，称

F（x）=P{X≤x}

为X的分布函数。

定义3.2[3]：一维离散型随机变量X的概率分布为：

此时，X的分布函数为：

F（x）=P{X≤x}= p . （2）

定义3.3[3]：二维离散型随机变量（X，Y）的概率分布为：

此时，（X，Y）联合分布函数为：

F（x，y）=P{X≤x，Y≤y}= p . （3）

由公式（2-3），不难发现：对于离散型随机变量，在计算其分布函数时，采用“化整为零”思想，首先寻找满足一定条件的pi或者pij，然后进行求和，最终给出分布函数的表达式。

此外，对于带有概率密度函数f（x）的一维连续型随机变量X的分布函数为：

F（x）=P{X≤x}= f（t）dt. （4）

对于二维连续型随机变量（X，Y），当其密度函数为f（x，y）时，其分布函数为：

F（x，y）=P{X≤x，Y≤y}= f（s，t）dsdt. （5）

由公式（4-5），不难发现：对于连续型随机变量分布函数的计算，仍然采用“化整为零”思想，首先寻找满足一定条件的f（x）或者f（x，y），然后进行积分，最终给出分布函数的表达式。

通过分析全概率公式以及分布函数，我们发现，概率论中某些知识点，虽然其表面形式很复杂，但是其本质总是存在简单的一面，教学过程中引导学生认真观察、分析问题，找到问题的本质特征，寻求简洁解法和思路。在概率论教学中向学生们渗透“化整为零”的思想方法，不仅仅是为了解决一个或若干个具体问题，更重要的是培养学生的思维能力和推理能力。同时，培养学生在今后的实际生活中处理复杂问题的能力。

四、结语

针对概率论中全概率公式以及随机变量分布函数的计算问题进行研究，本文发现这两个重要知识点采用“化整为零”的数学思维。在概率论教学过程中，将“化整为零”的思想应用于抽象难懂枯燥的知识点讲解中，有助于学生对该门课程知识的掌握，促进概率论课程的教学质量的提高，同时对于学生自学能力的培养有一定帮助。

参考文献：

[1]笛卡尔.方法论[M].彭相基，译.商务印书馆.

[2]魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，1983.

[3]同济大学数学系编.概率论与数理统计[M].北京：人民邮电出版社，2017.