数列与不等式的交汇应用

韩文美

数列与不等式的交汇问题，既有函数的思想方法，也有数列特定的思想方法，更有不等式求解、证明的方法和技巧，由于知识覆盖面广、综合性强而成为高考命题的热点之一，解答起来有一定的难度，

一、函数性质

例1 设等差数列{an}的公差为d，若数列{ea1an}（e为自然对数的底数）为递增数列，则

A.d<0

B.d>0

C.a1d<0

D.a1d>0

分析 结合递增数列的性质建立不等式，通过求解指数不等式，结合等差数列的通项加以转化，即可判断相应的不等关系式.

解 由数列{ea1an}是递增数列，可得ea1an0.选D.

小结 涉及数列的基本性质（包括单调性、周期性等）问题，特别是数列的单调性问题，往往离不开利用不等式的综合与应用进行求解，

二、项数问题

例2 若数列{an}满足：a1=2 018，an+1=an-3（n∈N*），则数列{an}的前n项和取得最大值时，n的值为

A.672

B.673

C.674

D.675

分析 根据题目条件，结合等差數列的定义求其通项公式，由数列{an}的前n项和取得最大值，得到对应的不等式组，通过不等式组的求解，并结合项数的取值限制加以确定.

解 由a1=2018，an+1-an=-3，可知数列{an}是以2018为首项、-3为公差的等差数列，所以an=2018+（-3） （n-1）=2021-3n.设数列{an}的前k（k∈N*）项和取得最大值，则

即

，所以2018/3≤K≤2021/3.由于K∈N*，所以K=673，则满足条件的n的值为673.选B.

小结 数列与不等式交汇中的项数问题，往往通过数列的定义、通项公式、相应性质以及数列求和的应用，结合不等式（组）的分析与求解来解决，注意不等式（组）的求解结果与数列对参数的限制条件之间的关系与应用.

三、创新问题

例3 若数列{an}满足：1/an+1-1/an=d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}为调和数列.已知正项数列{1/bn}为调和数列，且bl+b2+…+b2017=20170，则b1.b2017的最大值是

A.100

B.90

C200

D.400

分析 根据创新定义的转化得到{bn}为等差数列，结合等差数列的性质以及基本不等式来解决相应的最值问题.

解 由调和数列的定义可知bn+1-bn=d，所以{bn}为等差数列，由于b1+b2+…+b2017=2017bl009=20170，所以b1009=10，b1+b2017=2b1009=20，则b1·b2017≤（b1+b2017/2）2=100，当且仅当bl=b2017时取等号.选A.

小结 涉及最值等相关知识的数列创新问题，经常结合新定义，将新定义的数列转化为等差数列或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质等，并结合不等式的相关知识进行解答.

四、参数问题

例4 已知等比数列{an}满足an+1+an=3·2n-l，n∈N*.

（I）求数列{an}的通项公式.

（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn>kan+1对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围.

分析 （I）利用等比数列所满足的关系式，通过特殊值法确定相关的关系式，结合整体思维求得公比，进而得到首项和对应的通项公式.（Ⅱ）结合（I）中的结论求前n项和，利用不等式Sn>kan+1分离参数，设出对应的函数并求得最值，进而求得参数的取值范围，

解 （I）设等比数列{an}的公比为q.由于an+1+an=3·2n-1，n∈N*，所以a2+a1=3，a3+a2=6，则q=a3+a2/a2+a1=6/3=2.于是可得2a1+a1=3，则a1=l，所以an=2n-l，n∈N*.

（Ⅱ）由（I），可知Sn=a1（1-qn）/1-q=1-2n/1-2=2n-1.由题设有2n-1>k·2n-1+l，即k<2-1/2n-2对一切n∈N*恒成立，令f（n）=2-1/2n-2，由f（n）随n的增大而增大，可知fmin（n）=f（1）=2-2=0，则k<0，所以实数k的取值范围是（-∞，0）.

小结 数列与不等式交汇中的参数问题，常将相应的不等式与数列中的相关公式加以综合，进行参数分离，利用相关函数的最值的求解，进行等价转化，达到解决问题的目的，

五、应用问题

例5 为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，新车为电力型和？昆合动力型车，今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆：计划以后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型公交车每年比上一年多投入a辆.

（I）求经过n年，该市被更换的公交车总数S（n）.

（Ⅱ）若该市计划5年内完成全部更换，求a的最小值，

分析 （I）设an，bn。分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，分别确定数列的类型，根据数列的前n项和公式求解即可.（Ⅱ）根据题目条件转化为不等式关系S（5）≥10000，利用不等式的求解来确定参数a的最小值.

解 （I）设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量.依题意得{an}是以128为首项、3/2为公比的等比数列，{bn}是以400为首项、a为公差的等差数列，所以数列{an}的前n项和Sn=128[1-（3/2）n]/1-3/2=256[（3/2）n-1]，数列{bn}的前n项和Tn=400n+n（n-1）/2 a，则经过n年，该市被更换的公交车总数S（n）=Sn+Tn=256[（3/2）n-1]+400n+n（n-1）/2 a.

（Ⅱ）若计划5年内完成全部更换，则S（5）≥10000，所以256[（3/2）5-1]+400x5+5x4/2 a≥10000，即100≥6312，解得a≥631.2.又a∈N*，所以a的最小值为632.

小结 数列与不等式交汇中的实际应用问题，往往通过相应数列的通项、求和公式确定相应的关系式，利用实际问题建立对应的不等关系进行求解.对求参数问题，一定要结合实际应用问题，确保参数在实际中有意义，

六、证明问题

例6 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a5=5，且a3，a4，a7成等比数列.

（I）求数列{an}的通项公式.

（Ⅱ）设bn=an/2n，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：-7/4≤Tn<-1（n∈N*）.

分析 （I）通过待定系数法，根据题目条件建立方程组，求得首项与公差，从而可得数列{an}的通项公式.（Ⅱ）先利用错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn，再确定其单调性，即可证明对应的数列不等式成立.

（I）解：an=2n-5（n∈N*）.（解答过程省略）

（Ⅱ）（证明过程省略）

小结 数列与不等式交汇的综合问题，若是证明题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等：若是解不等式题，要选择不等式的不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等.