浅谈积累归纳推理经验的数学教学

桑丽阳

归纳推理经验是一种基本的数学思维活动经验，它一般是从学生的动手操作和思维活动中获得，不像“基本知识”和“基本技能”那样容易考查和评估，因此常常易被教师所忽视。然而，数学活动经验是一种不可替代的自我体验，是提高数学能力和数学素养的关键。因此，教师必须结合具体的教学内容，设计组织好每一次数学学习活动，引导学生积极主动地参与其中，经历学习的全过程，从而获得独特的经历和体验，逐渐积累丰富的数学活动经验。

一、通过全程经历掌握正确的归纳推理方法

归纳推理的教学是让学生亲历归纳推理解決问题的过程，在学习过程中建构数学知识，掌握解决问题的基本策略，发展逻辑推理能力，从而真正理解什么是归纳推理，形成用归纳推理解决问题的能力。教学中，教师要帮助学生了解和掌握一般的归纳推理方法，让他们运用该方法继续去发现和探索知识。同时，教师要有意识地结合教学内容引领学生掌握正确的归纳推理方法。

归纳推理一般由以下几个环节组成：一是观察引入，即通过观察研究对象，提出要研究的问题；二是形成猜想，即根据观察的结果，提出合理的猜想；三是枚举验证，即运用举例的方法进行验证猜想；四是归纳结论，即用文字或符号概括结论。例如，“加法交换律”一课，作为数学运算规律探究的起始课，它是学生积累代数归纳经验，掌握一般归纳推理方法的关键。在课堂上，教师需要按照“提出问题—形成猜想—举例验证—概括归纳—运用结论”几个环节展开教学。

例如，教师先出示“5+12=17”和“12+5=17”，让学生通过观察、分析，用自己的语言叙述算式的变化，即“左右两个加数互换位置，和不变”，从而引发学生的猜想：是不是所有的加法算式，将两个加数的位置互换后，和都不变？为了验证猜想是否正确，就需要举例。在举例验证的过程中，教师要指导学生对研究进行规范的记录，形成良好的记录习惯。这不仅能让学生正确地表达因果关系，而且有助于学生养成科学严谨的学习态度。同时，教师还要逐步开启学生的研究思路：有时，一个例子不足以证明猜想是否正确，举例就要多样，要考虑到不同种类的加法，如整数、小数、分数等；举例时要注意特殊数字，比如0；还要有寻找反例的意识等。通过这样有意识的引领，让学生学会举例验证的一般方法，即要全面举例，尽可能涉及更广的范围，并要考虑到特殊的例子，要努力地寻找反例。这样，学生在习得举例验证的一般方法时，也就积累了丰富的归纳推理的经验。

举例验证后，要引导学生使用简洁的方式归纳概括结论，如图形、符号、字母等，让他们知道完整的表述应该包含条件和结论两部分。最后让学生运用这一结论，解答一些数学问题。

总之，在教学中，要让学生经历用归纳推理解决问题的全过程，不仅使他们学习数学知识，能用归纳推理解决问题，也学会归纳推理的一般方法，积累归纳推理经验。

二、通过实践操作积累直接的归纳推理经验

在生活中，让人印象深刻的往往都是亲身经历的事。数学经验的积累离不开数学活动。让学生经历多种多样的数学活动，从中观察、操作、思考、比较、归纳，才能更好地掌握基本的数学知识、方法和技能。因此，在教学中，教师要留给学生足够的时间和空间，组织学生动手操作、自主探究，参与归纳推理的活动过程，通过实践获得并积累归纳推理的直接经验。

例如，在教学“三角形内角和”时，笔者首先引导学生观察身边的文具三角板，再通过测量和计算发现这两个特殊的直角三角形的内角和是180°，从而引发学生猜想：是不是所有的三角形内角和都是180°？激起学生探究的欲望。从两个特殊的直角三角形到一般三角形的内角和，特别是“钝角三角形和锐角三角形的内角和会是一样的吗？”这一开放性的问题，引发了学生视觉和思维上的冲突，对学生来说极富挑战性。教师要把握机会，适时组织学生动手操作验证。

接下来，教师要引导学生根据已有的归纳推理经验进行思考：如何验证？只验证一个三角形够吗？所有的三角形验证得完吗？需要验证哪些三角形？让学生进一步感知举例验证要全面，要尽量考虑不同类型的三角形。课前，笔者准备了多种不同类型的三角形，让学生选出所需三角形动手验证。教师可引发学生思考：除了测量，你还有其他办法验证三角形内角和吗？以此引导学生将三角形的三个角折拼或剪拼在一起进行验证。在学生自主探究的过程中，教师要引导学生科学记录研究结果。

最后，引导学生将研究过程中看到的现象进行归纳，得出结论：三角形内角和是180°。让学生亲身经历“猜想—验证—归纳”的全过程，通过动手操作，获得了“三角形内角和”的直接经验，并且印象十分深刻。

三、通过回顾反思提升归纳推理的能力

反思是课堂教学的一个重要环节。学生经历了一系列的数学活动后，需要对学习过程进行回顾和反思。在课堂教学中，教师要引导学生反思自己参与活动的全过程，与同伴交流参与活动所获得的体验，总结在活动中的一些收获，在思维碰撞中加深对知识的探索，提升归纳推理的能力。

如在学习“加法交换律”之后，学生通过反思，首先总结出了归纳推理的一般步骤，即“观察发现—形成猜想—举例验证—归纳结论”；接着，通过互相交流，学生们认识到举例要全面，要考虑特殊例子，并通过特殊数字寻找反例等；最后，根据得到的结论类比猜想，将“两个加数”横向拓展到“三个加数、四个加数……”，从“加法”纵向延伸到“减法”“乘法”“除法”，形成更多新的猜想，拓展学生研究的视角，给学生留下更多自主探索的空间。

引导学生反思时，可以从“我今天学习了什么知识？”“运用了什么样的学习方法？”“今天学的知识与生活有什么联系？”等问题开始。这样的反思，有利于学生全面考虑问题， 掌握解决问题的办法，进一步积累数学活动经验。

总之，归纳推理的经验是需要依靠积累形成的，需要教师在课堂中为学生预留充分的时间和空间，让学生经历归纳推理的全过程，掌握归纳推理的方法，获得在操作活动中的初步体验，逐步形成“总想发现点什么”的意识，养成科学分析问题的习惯。只有这样，才能将获得的直接经验转化为内在的认识；才能在反思中总结提升，举一反三，形成新的猜想，获得新的经验。

（责任编辑 郭向和）