用数列模型解决生活实际问题

何海涛

生活中频频出現的存款利息、分期付款、环境保护、增长率和贷款等热点问题，常需要用数列的知识来解答.从实际问题中抽象出数学特征，建立数学模型进行求解，将有助于培养我们的应用意识和创新精神，将为我们提供更科学的优化决策.

例题用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元.购买当天先支付150元，以后每月的这一天都支付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%.若支付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一月，则分期付款的第10个月该支付多少钱？全部货款付清后，实际花了多少钱？

分析 由每月都付50元，可知剩余欠款在均匀减少.由于剩余欠款的月利率固定为1%，所以剩余欠款的利息呈线性减少，则每月的还款额度与月份之间呈线性变化规律，故可建立等差数列模型.

解 由题意可知全部贷款分20次付清.设每次所付金额顺次构成数列{an}，则a1=50+1000×0.01=60，an=50+0.01[1000-50（n-1）]=60-0.5（n-1），于是可知数列{an}是以60为首项、-0.5为公差的等差数列.故a10=60-（10-1）×0.5=55.5，S20=20×60+20×（20-1）/2×（-0.5）=1105.所以，分期付款的第10个月该支付55.5元，全部货款付清后，实际花了1105+150=1255元.

解后反思等差数列模型常用于变化规律呈线性的实际问题的求解，或应用于前n项和与n成二次函数关系的实际问题的求解.例1中的还款方式实际是等额本金方式的具体体现，利息是按单利进行计算的.在我们的生活中，利息常按复利进行计算，这种还款方式称为等额本息的方式.

变式1 某房地产开发商采用分期付款方式向社会出售商品住房，具体事宜如下：

①每套商品住房售价为400 000元；②购房者必须在一年内将款全部付清；③购房者可分3次或4次付款，月利率为5%，每月利息按复利计算.

计划分4次付款购买一套商品住房：每期应付款多少元？总计应付多少元？与一次性付款的差额为多少元？

分析上述问题是典型的分期付款问题，利息是按复利进行计算的，故可建立还贷模型进行求解.还款方式采用复利形式，复利即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息.设本金为a，每期利率为r，本利和为y，存期为t，则复利函数式为y=a（1+r）t.一般地，购买一件售价为a元的商品，采用分期付款方式付款，要求在m个月内分n次将款全部付清，月利率为p，则m个月后本息和为a（1+p）m.第1次还款额为x，则在m-m/n个月后本息和为x（1+p）；第2次还款额为x，则在m-2m/n个月后本息和为x（1+p）；…；第i次还款额为x，则在m-im/n个月后本息和为x（1+p）；…；第n次还款额为x，本息和为x.于是所有的还款额产生的本息和为x+x（1+p）n+…+x（1+p）=根据总售价本息和等于还款额的本息和，付款总额为nx.与一次性付款的差额为nx-a.此模型常用于分期付款问题中等额本息还款方式的求解与决策，以及与其他购买方式的优化选择中.

解 由已知有a=400 000，p=5%=0.05，m=12，n=4，将这些数据代人，可得x=142 272，则nx=4×142 272=569 088，nx-a=169088.

所以，分4次付款购买一套商品住房，每期应付款142 272元，总计应付款569 088元，与一次性付款差额为169088兀.

解后反思 变式1中的利率计算方式与例1是不同的，因此还款方式与例1也有所区别.由于等额本息中的利率按复利计算，所以第n期还款后的欠款数与第n-1期还款后的欠款数存在一定关系.设贷款总额为a，每期付款为x，每期利率为r，按复

递推数列模型常用于已知前后两项关系的数列问题的求解.

变式2 甲、乙、丙、丁4人做相互传球练习，第一次由甲任意传给除甲外的其他三个人中的一个人，第二次由接球者再将球任意传给其他三个人中的一人，依此类推，这样共传了4次后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式有多少种？

分析对这类问题，当人数、次数较少时，常用树状图法或排列组合的知识进行求解.当人数、次数较多时，树状图法显得力不从心，排列组合的讨论也比较繁琐，容易重复或者遗漏.

注意到第4次将球传回到甲手中，则在第3次传球结束后球一定不在甲的手中，所以第4次将球传回到甲手中的传球方式的种数，应等于在第3次传球结束后球不在甲手中的传球方式的种数.根据这一特点，可建立递推数列模型解决这类问题.

每次传球过程中不会出现失误，即不会出现球落在地上的情形.一次传球活动，只能是一个传球者和一个接球者，即不能出现两个人同时接球.每次传球活动开始时，传球者选择接球者具有随机性.

为使问题更具一般性，特进行如下符号说明：①共有A1，A2，…，Ak等k个人进行传球练习；②经过n（n≥2，n∈N*）次传球后，球仍回到第一个发球人手中，模型重述：第一次由A1任意传给除A1外的其他k-1个人中的一个人，第二次由接球者再将球任意传给其他k-1个人中的一个人，依此类推，这样共传了n次后，球仍回到A1手中，则不同的传球方式有多少种？