期望效用函数在投资组合中的应用

2018-07-21张新锋

新教育时代·教师版 2018年18期

摘要：本文阐述了期望效用（ E u ）理论，给出了 E u 理论在投资组合中的简单应用。

关键词：期望效用理论投资组合优化

一、EU理论及发展

期望效用函数理论（Expected Utility Theory）是20世纪50年代，冯·诺依曼和摩根斯坦（Von Neumann and Morgenstern）在公理化假设的基础上，运用逻辑和数学工具，建立了不确定条件下对理性人（rational actor）选择进行分析的框架。2 0 世纪中期诞生的期望效用理论（简称EU理论）将效用的分析从确定性条件或环境带入了不确定性条件或环境，成为了人们在不确定性条件或环境下的决策依据。[1]

如果某个随机变量以概率取值，，如果确定地得到时的效用为，那么，该随机变量给他的效用便是：

U（）=E[u（）]=Σ（）

其中，E[u（）]表示關于随机变量的期望效用。因此U（）称为期望效用函数，又叫做冯·诺依曼—摩根斯坦效用函数（VNM函数）。概率的效用函数表达式叫期望效用函数。

期望效用理论描述理性人在风险或不确定性环境下的消费（投资）选择。若一个决策是在风险下做出的则意味着决策者能够列出该决策可能产生的所有后果及其相对应的可能性（概率），风险意味着决策者对于决策结果的概率分布是已知的。

如果u（w）为一连续且二阶可导的 V N M 效用函数

6.双曲线效用函数

二、EU理论在投资组合中的简单应用

利用期望效用理论解决投资决策问题，主要解决的是资产配置问题和收益最大化问题，通过决策优化得到预期收益。所以，作为现代资产定价理论的基石，依据EU理论建立的投资模型，在投资组合优化中具有重要的应用价值。

在经济学研究和金融投资领域，投资者追求的是自身的期望效用最大化。所以，做出最优资产组合，决策的关键是要设计一个投资比例，使其保证投资者的期望效用最大化。[2]

假如有一投资者，其投资风险行为符合对数效用函数，其拥有初始财富值为100000人民币。假定他选择两种投资产品，产品一投资元（产品一为风险型投资产品，比如股票），剩余资金投资产品二（为无风险的固定收益投资产品，比如国债），并获5% 的年化收益率。[3]

现考虑风险产品的单期损益情形：

这样投资者对风险型产品一，投份额为86666.7元，就可以得到效用最大化的收益。