《资本论》的数理基础

陈 勇 勤

(中国人民大学 经济学院，北京 100872)

马克思通过《资本论》第1卷“第1版序言”在告知“我把这部著作的第1卷交给读者”的同时，明确指出：“这部著作是我1859年发表的《政治经济学批判》的续篇。”[1]7如果说“现代政治经济学的创始者”是英国那位“最有天才的最有创见的研究家”威廉·配第，而且他在17世纪下半叶的著作《政治算术》是“政治经济学作为一门独立科学分离出来的最初形式”；那么，政治经济学从问世之日起就和“数理基础”有着必然联系。这里我们说的数理基础，主要是针对“数”这个“近代数学的基础”[2]6，包括数理逻辑以及算法、工具(逻辑法则、交换规则)和数理统计等。由此看来，不妨就由数论和政治算术来开启话题。

一、数论和政治算术

谈到数论就要先说说“数”。我们知道，数包括自然数、整数、有理数、实数和复数。正整数(自然数)的数学理论是算术，算术的基础在于算术基本规律即交换律、结合律、分配律。自然数有无穷多个，反映出数系的无限性，“而数学上的无限性在近代数学中起着重要的作用”[2]16。从Euclid到Diophantus，从Fermat、Euler到Gauss、Legendre、Dirichlet、Riemann等，近代数论显示出“数学是科学的皇后，而数论是数学的皇后”。大约在1953年，Borel开创了概率论在数论中的应用，利用随机来研究必然性，这是20世纪“整个数学特别是数论最深刻的成果之一”。对无穷大的整数序列、素数序列的随机现象进行分析解释，又是解析数论的前沿研究课题。

所谓“政治算术”，其中“政治”是指政治经济学*“政治经济学”一词，早在1615年就由法国早期重商主义代表人物安托尼·德·孟克列钦提出。，“算术”是指统计方法，强调用数据分析经济现象。在威廉·配第生活的那个时代，统计学尚未出现，《政治算术》一书为统计学的形成和发展奠定了方法论基础。数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的。17—20世纪，Bernoulli大数定理、Bayes方法、最小二乘法、正态分布概率密度、大样本检验、小样本分布、小样本检验、显著性检验、序贯分析等将数理统计的工具库不断充实。

与数理统计的方法有必然联系的是Riemann公式，即：

这个收敛于有穷极限的有穷级数是“条件收敛”，其极限取决于求和顺序。

是“依概率收敛”，这个式子的右边又和中心极限定理

的等号左边相关，而这个式子的右边又和标准正态分布的概率密度

的等号右边相关。(2)连续随机变量ξ的数学期望

的积分是“绝对收敛”，其中φ(x)是概率密度。(3)能够完全刻画分布函数的是它的特征函数。关于n元特征函数，有逆转公式

dt1，…，dtn

可知这个公式并不涉及Möbius函数μ(n)；但是，很明显，它涉及复指数。

二、劳动决定价值和价值用时间单位计量

劳动价值的含义是劳动决定价值。既然价值取决于劳动，而劳动量要么以时间来计算(譬如计时劳动)，要么以实物来计算(譬如计件劳动)，但实物都是劳动结果或产品，时间才是劳动付出，所以价值用时间单位计量。

在《资本论》中，马克思首先是“假定：1.商品是按照它的价值出售的；2.劳动力的价格有时可能比它的价值高，但从不比它的价值低”；然后，“在这个假定下”，他引入“李嘉图第一个严密地表述”的“三个规律”，并指出“劳动力的价值和剩余价值是由三个规律决定的”[1]593，594，598。马克思又设定，价值产品=劳动力价值+剩余价值=活劳动=工作日，它是不变量，其中的两个构成因子成反比[1]595。接下来就是分析劳动生产力、劳动力价值、剩余价值之间的关系。对此，马克思假设了数量并配有计量单位。笔者把相关问题分别整理为表1和表2。

表1 生产力提高前后的生活资料量生产用时和劳动力价值

数据来源：马克思：《资本论》第一卷，第595页。

表2 生产力提高前后12小时工作日的劳动力价值和剩余价值

数据来源：马克思：《资本论》第一卷，第595—596页。

对表2的几个概念需要注意，剩余劳动↔剩余价值，劳动力劳动↔动力价值，劳动力劳动=必要劳动[1]610，活劳动=必要劳动+剩余劳动=劳动力劳动+剩余劳动。在表2中，劳动力价值和剩余价值是用货币单位计量，必要劳动和剩余劳动是用时间单位计量。在表1中，劳动力价值也是用货币单位计量。这说明，整个研究过程中不可能全都是用时间单位计量，可见商品价值以时间单位计量只适用于有限范围。

同属于产品，在生活资料以货币单位计量的社会环境中，必然会有生产资料以货币单位计量。总之，既然已经有了产品以货币单位计量，那么商品“按照它的价值出售”的实质就是商品按照等价于“它的价值”的价格出售。

看来又引出“商品价值究竟是什么”这个问题。

马克思对商品价值的定义是生产商品所需要的社会必要劳动时间；社会必要劳动时间=社会必要劳动量=价值量[1]52-53。与同类经济现象相对照，不难发现，完全可以换个说法，这就是：生产商品所需要的必要成本。由于商品价值包含剩余价值，所以必要成本=应付成本=真实成本。用货币单位计量的剩余价值无非是应该给工人但没有给工人的未付工资，工人得到的货币工资实际上是少付工资，这样一来，用货币单位计量的“c+v+m”就是应付成本，也即真实成本。问题已经弄清楚，w=c+v+m=应付成本=真实成本，k=c+v=少付成本=实付成本。也就是说，马克思的本意是商品按照它的真实成本出售。

用p表示价格，并且用p代替w，则p=c+v+m。产品实现，c、v、m、w全都成为不变量。销售价格p被规定为只能等于真实成本w，是一个不变量。实付成本k或c+v也是一个不变量。利润=销售价格-生产成本=真实成本-实付成本，同样是一个不变量。在这里，利润的量与剩余价值的量是相同的。也许这可以理解为，马克思说的“剩余价值转化为利润”。用s表示利润，因为s=m，似乎也就有m转化为s的事实存在*剩余价值怎样转化为利润？学界还有一个权威性的解释：c和v对资本家来说，就是他的生产成本，生产成本范畴产生后剩余价值不再是可变资本的增殖，而表现为生产成本以上一个增加额，即所费资本的增加额，并进而被看作全部预付资本的产物，这样，它就转化为利润。[1]610。

三、藤森赖明《马克思经济学与数理分析》存在的问题

日本学者藤森赖明的《马克思经济学与数理分析》一书对发展数理马克思经济学有积极作用，不过从“《资本论》的数理基础”这个角度来看，藤森赖明的研究还是存在一些问题。

(一)价值和资本构成

按藤森赖明的理解，价值是“基于劳动的、存在于交换价值背后的实体”，价值指“生产商品所需要”的“社会性的必要劳动时间”或“直接和间接的劳动时间”，“价值就是为生产活动而直接或间接支出的劳动所凝结或结晶化的东西”，这是价值“原有的形态”；不同于原有形态，现实中价值所表现出来的是价值形态，“它是作为商品的一种交换比率，或者是以多少钱这样的货币形式而出现的”[3]2，4，5。也就是说，价值的原有形态=劳动时间，价值用时间单位计量；价值形态=价值的体现形态[3]11=价格，价格用货币单位计量。其中，很重要一点，价值实体反映出实体价值，“价值实体是投入在生产过程中的劳动”，因此“由劳动决定价值的理论称为劳动价值学说”[3]14。

关于价值决定，藤森赖明认为，“在交换的内部，无法决定价值的大小，因此，需要在交换的外部来探求价值决定的要素”，“关键在于要在生产过程或者消费过程中探求原因”，而“经济学的理论”也因此“分为两类，一类是在生产过程中探求交换比率、交换价值的决定要素；另一类则是在消费过程，也就是消费者的主观满足度上探求其决定要素”，“马克思的理论”是“基于在生产过程中探求价值的这类学说”，“效用价值学说”是“基于消费者的主观满足度的价值论”[3]13-14。

令价值为W，生产中支出的生产资料的价值为C，支出的劳动为L，则W=C+L，也即价值=物化劳动+活劳动。令工资为V，剩余价值为M，则W=C+V+M。

毫无疑问，剥削*藤森赖明说：“剩余价值是资本无偿获取的东西，马克思将其称为资本对劳动的剥削。”[3]28不会改变资本有机构成，资本有机构成与利润无关。资本有机构成这个东西，无非是应付成本的两个构成因子——生产资料量和劳动量——的比值。另外有一种说法，叫作“资本劳动比率”[3]125。按照马克思对价值的认定来理解，价值=应付成本，则资本有机构成又是价值的两个构成因子——生产资料量和劳动量——的比值。

(二)剩余价值怎么转化为利润

根据藤森赖明写出的价值的公式是W=C+(V+M)，也可以是W=(C+V)+M。笔者对此的理解是：前者表示资本品+应付工资，后者表示成本+未付工资。再联系藤森赖明的表述，把价值W看作价格P，则“价值被转化为价格”；把未付工资M看作利润S，则“剩余价值被转化为利润”[3]48。

“商品价格是在费用基础上加上利润的一种价格，这就是资本主义经济的价格形成规则。”而且，马克思“注意到了在资本主义经济中商品并不是用价值，即劳动时间单位来进行出售或购买的”[3]47-48。

尽管藤森赖明根据马克思的本意具体指出剩余价值是“新创造的价值中超过工资的部分”，“是资本无偿获取的东西”，是“剩余生产物”的“总价值”[3]27，28，73，但他始终没有讲清楚的是，这里实际上有两个要点：把V+M看作应付工资，把M看作未付工资。所以，剩余价值=未付工资=应付工资-少付工资，M=(V+M)-V。

对于资本家来说，“最开始需要进行货币支出的是资本品和工资”，由此“出售商品获得的销售额，以及剩余价值M是预付资本的结果，并不只是工资(可变资本)的结果”。在这里，价值构成式是W=(C+V)+M。对于劳动者来说，“他们最为关心的事情是工资与劳动时间的比率”。在这里，价值构成式是W=C+(V+M)[3]47。

关于工资利润曲线，藤森赖明说：“若工资增加(降低)则利润降低(增加)。但是，工资的增加会导致多少利润的降低，这种分配的变化一般依赖于价格，所以它的变化不是保持一定的。也就是说，工资利润曲线不可能变成直线。这也是价格与分配同时决定的意义所在。”与此相关，“工资利润曲线的形状会随着作为价值尺度的商品的改变而改变”。“若以生产资料作为价值尺度商品，那么工资利润曲线是直线”；“若以消费品作为价值尺度商品”，工资利润曲线“是一个往右下倾的曲线”[3]126-127。

工资的计算标准与剩余价值在工资中所占比例是两个问题。

通常说的工资是劳动者知晓的契约工资，用V表示，它“依赖于价格”。已知，活劳动=必要劳动+剩余劳动=有酬劳动+无酬劳动，契约工资↔有酬劳动，剩余价值↔无酬劳动。因此，契约工资↔有酬产品，剩余价值↔无酬产品。可以认为，(契约工资+剩余价值)↔(有酬产品+无酬产品)。因此，应付工资=契约工资+剩余价值，未付工资↔无酬产品，少付工资=契约工资。

(三)“转形”问题

藤森赖明把马克思“转形问题”理解为：“以价值为出发点计算生产价格的方法，被称为价值到生产价格、剩余价值到利润，以及剩余价值率到利润率的转形。”[3]49其中价值到生产价格的转形、剩余价值到利润的转形这两个现象，又称为“马克思的总量一致命题”[3]85。很明显，“转形”必须是在总量范畴来讨论问题。

①藤森赖明又分析：“资本主义经济内含了这样一种机制。即，由于技术的进步，导入用更少的劳动就能进行商品生产的技术，同时将多余的劳动力变为失业者，也就是通过不断地‘制造’被称为产业后备军的劳动者集团，来达到以超过人口增长率进行经济增长。从资本主义经济的利润至上、资本增长至上的视角来看，只要技术进步能让利润率上升就足够了。而如何从利润和增长的均衡关系中提高劳动者的生活水平并不具有首要的意义。”

(3)在总量范畴，藤森赖明针对“单位价值与数量”说：“马克思的再生产图式的数值例是以总额来表示的。这里的总额指的是数量与单位价值或单位价格的乘积。即，总额=数量×单位价值。马克思给予了价值的定义，构筑了以价值表示的再生产图式。但价值具体是如何决定的尚未阐明出来。因此，比如说6000单位的资本品的价值总量它作为数量应该是多少，分解的方法尚不明确。这样，马克思所讨论的数量及单位价值的确定问题成了一个遗留的问题。”[3]59

中国学界在“马克思经济学数学模型研究”上很少有实质性进展。以“转形”为例，它根本就不是什么“三个阶段”完成问题。实际上只要认定“价值=应付成本”，而且“等价交换”=等“价值”交换=等“应付成本”交换，就什么问题都解决了。有人说剩余价值有四种不同的形式，即工人创造的剩余价值、社会承认的价值形式的利润、生产价格形式的利润、资本家实际得到的剩余价值。看似有新意，但无非是对剩余价值的一种分类而已，终归还要归总为社会全体雇佣劳动者创造的总剩余价值。这和“分数的分子分母同乘或同除一个数而分数的大小不变”有同一道理，对生产资料要计算生产价格就都计算，要不计算生产价格就都不计算，并不影响总量范畴的任何统计。这样看来，只考虑资本有机构成差异对剩余价值分配影响的价值转化生产价格这个“一元价值转形”，再考虑资本主义土地所有权对剩余价值分配影响的价值转化生产价格这个“二元价值转形”，再考虑其他因素对剩余价值分配影响的价值转化生产价格这个“多元价值转形”，或者说其代表“二元价值转形”，都是以往中外学界经济研究的相关内容的简单拼凑，耗费170多万字，最终对转形“两个等于”的根本问题也没有弄清楚，汗流浃背在“答非所问”上不停地兜圈子。试问

和

这两个等式究竟是怎么一回事？

四、置盐信雄的迭代转形

只有用时间单位计量才会遇到这样的问题，一个方程包含两个未知数。w=c+v+m中的c如同未知数，那么w也如同未知数。因为c不过是另一个wc=cc+vc+mc，而cc又不过是另一个wcc=ccc+vcc+mcc，……。如此追因，c趋于cnc实际上转化为wc趋于wnc，这是f(wc)→-∞。根据“无穷小量都是趋于0的变量”，f(wc)有极限，是收敛的。w=c+v+m用极限概念和方法处理，可认为有解。人们在讨论“转形”时，总是给生产资料c一个假设数字，使之成为虚拟的已知数。

日本学者置盐信雄把三个部门的三个价值构成式联立为一个方程组，即：

这是线性方程组，按其中的顺序可组成一个3×4非负矩阵，也是该方程组的增广矩阵。当然，这是3行4列矩阵，不是n阶矩阵。因此，笔者把置盐信雄方程组改写为：

置盐信雄的迭代转形留给我们的只有一个问题，即某个经济时期内社会的平均利润率应使用什么计算方法来确定。譬如，藤森赖明在讨论“数量和生产价格均衡”时提到，“令价格向量为p=(p10,p11,p12,p2)，跟4个商品体系对应的工资品束为f，且ω=pf，定义均衡利润率π的均衡方程为pB=(1+π)(pA+ωL)”[3]155-156。

五、概率和马尔可夫链

利用随机取样来估算总量，在转移概率上有马尔可夫链。从举例的角度说，现在只看马尔可夫过程，它是马尔可夫链的一般化。跳跃型马尔可夫过程的转移概率F(s,x;t,A)满足下面两个微积分过程：

前一个等式称为向后方程，后一个等式称为向前方程。

利用马尔可夫链分析论证价值转形，也是在研究方法上的一种尝试。

六、宏观总量平衡≠微观个量加总

宏观总量平衡的基本式是投入产出模型。(1)与此相关的“增广”的里昂惕夫体系，涉及以折旧率为基础的旧固定资本价格的计算中“价格决定体系可以简化到只含新品商品生产的决定体系，也就是说，联合生产体系可以归结到一种非联合生产体系当中”[3]158。(2)“马克思的再生产图式的数值例是以总额来表示的”，可以“把总额分解为数量和单位价值的乘积”[3]59，64。马克思的“再生产图式”既反映出社会总资本的运动，又“表明了均衡的存在”[3]45，31。(3)联系到资本主义经济波动，藤森赖明说：“由资本主义经济的价格均衡和均衡增长的理论可以看出，均衡增长具有不稳定性。分析均衡增长的不稳定性的模型是以依据所谓加速原理的投资以及商品市场的均衡为对象的。”[3]94

藤森赖明还认为，“马克思—斯拉法模型中决定的均衡价格比率是一致的，二者是吻合的”[3]158。

产品实现，商品数量是不变量。交换实现之前，商品价格是可变量。所以马歇尔指出，一种商品可以有均衡价格和均衡产量的一致，这在供求均衡时[5]。如果把马歇尔的微观供求均衡引申到宏观供求均衡，那么，必须是在所有商品全都供求均衡时才会有均衡价格和均衡产量的一致。问题在于，这真的就是美国学者吉拉德·德布鲁在几十年前证明的那个不动点吗？如果出现两个点而不是一个点，那么一个不动点说就被证伪。

一方面，“有效市场”和“理性预期”这两个假设多年来一直被质疑；另一方面，“不确定性”已经成为经济分析的主导观念。由此把人们的目光引向；经济危机的风险和宏观总量平衡之间究竟有一种什么样的关系？如果切实存在着“多重均衡”，那么这种均衡又是怎样在宏观总量平衡的框架中显示出来？已发展完备的“财政—货币—银行”政经体系对宏观经济运行起着至关重要的作用。回首当年，凯恩斯把货币当作重点研究对象，以对“盖赛尔处方”——“‘加印’货币”即“加贴印花保值”且“印花费用=货币利息率-资本边际效率”——的兴趣[6]，更关注于利息率这一变量。而后来经济社会出现的“滞涨”现象，恰恰使得凯恩斯理论陷入困境。于是货币主义问世，重新探讨货币数量论，以及由用货币单位计量引出的一系列问题。这是围绕货币数量论的“传统货币数量论—凯恩斯革命—货币主义复兴”这样一条货币理论发展路径。到20世纪30—50年代，着重讨论货币与价格。这是围绕瓦尔拉斯均衡的“瓦尔拉斯—希克斯—帕廷金传统”这样一条货币理论发展路径。20世纪80年代又形成新货币经济学，以全新思维方式研究货币和货币机制。人们已经看到，货币系统正演绎着由技术创新到制度创新再到理论创新的发展路径。

最后，与“《资本论》的数理基础”相关联，对于越来越复杂的问题，我们让用货币单位计量替换用时间单位计量，并以货币与价格的关系反映价值与价格的关系。其中有一个主要问题，可借用下面的四个公式来研究：

这个尝试必须使用复变函数。公式也需要针对具体问题做相应的变换，如引入Möbius反演。对宏观问题寻找其微观基础，涉及动态经济计量学，特别是非均衡经济计量建模与控制。

TheMathematicalBasisofCapital

CHEN Yongqin

(School of Economics, Renmin University of China, Beijing 100872, China)

Abstract:The connection between political economics and “mathematical basis” has historical origin. From the extensive use of mathematical statistics to the use of probability to study random phenomena, we have again seen the bridge role of complex variable functions in statistical correlation. The meaning of labor value is that labor determines value. Related to this, Marx set the value to be measured in units of time. “What exactly is the value of a commodity” needs to be clarified. In “Mathematical Analysis of Marxist Economics”, Mr. Fujimori did not give a solution to value transformation, nor did he explain how surplus value can be transformed into profit. There has been little substantial progress in “the study of the mathematical model of Marx’s economics” in Chinese academic circles, and “dual value transformation” is a typical “irrelevant answer to the question”. Nobuo Okishio’s idea of iterative transformation and Markov’s chain total estimation can both be used for improvement and transformation. Macro total balance is not equal to the sum of micro individuals. In the looking for the micro-foundation for macro-problem, the measure of monetary unit is a key factor.

Keywords:Capital; mathematical basis; value transformation; organic composition of capital; macro total balance