一道让学生“全军覆没”的试题引发的思考

2018-07-20甘肃常克义

教学考试(高考物理) 2018年1期

甘肃常克义

在高三高考复习备考测试中，选用了这样一道试题：

【题目】如图1所示，质量为M的底座停放在粗糙的水平地面上，中间是内壁光滑、半径为R的竖直圆形轨道，一质量为m的小球，在竖直的轨道内做圆周运动，当小球运动至最高点A时，对轨道的压力恰好为mg。整个过程底座始终处于静止状态，小球可视为质点。则下列说法正确的是 ( )

A.小球经过圆周最高点A时，小球处于完全失重状态

B.小球经过圆周最高点A时，底座对地面的压力最小，最小值为Mg-mg

C.小球经过圆周最低点C时，底座对地面的压力最大，最大值为Mg-6mg

D.小球经过与圆心等高点D时，地面对底座的摩擦力最大，方向水平向右

究其原因，主要是学生存在两个方面的能力缺陷：

其一，缺乏科学有效的分析能力。其实在做这道题时，学生已知小球到达轨道最低点时对轨道压力最大，从而错误的推得“小球到达最高点时底座给地面的压力最小”的结论。在这一判断过程中，学生简单的利用了“最低—最大”与“最高—最小”的类比方法，其实质正是学生思维定势影响的结果。

这道习题的正确分析应该为：小球到达水平直径B、D两点以上时，会对轨道产生斜向上的压力，底座对地面的压力将小于底座自身的重力。若利用极端法，假设小球恰好能够通过最高点，即到达最高点时对轨道的压力为0，那么，底座对地面的压力就等于轨道自身的重力，故小球到达最高点时底座对地面的压力一定不是最小值，那么，最小值应存在于小球到达A、B两点或A、D两点之间的某一位置。

其二，缺乏数理结合的运算能力。在讲授本习题时，通过上述分析，再要求学生通过计算求出底座对地面的压力的最小值，结果还是没有学生能够得出正确答案，明显缺乏数理结合运算能力，以及几何模型的建立与数学运算方法的运用。

【解析】设小球运动到P点时，底座对地面的压力最小，∠POD=α，如图2所示。

小球在A点时，根据牛顿第二定律，得

小球从A点到P点，依据机械能守恒，有

小球在P点时，根据牛顿第二定律，得

由牛顿第三定律及矢量关系可知，

由①②③④式可得，小球对轨道的压力的竖直向上的分量为：

FNy=mg(-3sin2α+4sinα) ⑤

那么，底座对地面的压力的最小值为：

从学生解答的过程来看，首先是无法将此物理过程转化为如图2的几何模型，造成根本无法进行相关的计算。其次是很多学生往往是就物理解物理，一旦遇到数理结合问题就无法灵活转换思维，即便是得到了⑤式还是无法运用数学方法求解。

虽然，以上问题是从学生解决物理习题时体现出来的，但也从另一侧面反映出物理教学中对于学生能力培养方面存在的不足。为此，必须对物理教学进行一些必要的反思。

1.加强对物理过程、现象的理解与分析。物理习题、试题都是以一定的物理过程(或理想化的过程)、物理现象为依据，其中设定某些状态与条件。对于学生而言，很多物理过程并非亲身经历，而是未知的，因此只有能够正确分析物理过程，构建出物理过程图景，理解物理过程所包含的物理规律，才能正确解决物理问题。无疑，加强学生对物理过程、现象的理解与分析成为物理教学的重要环节，其中有两个方面值得重视：

其一，通过观察与实验，积累和丰富学生对物理过程、现象的认知度。“在物理教育活动中应当关注学生的体验、强调物理教育实践的重要性，追求物理教育意义的实现……，因为，所有这一切都是在活生生的物理教育的世界中发生着的。”比如，在教授超重、失重现象时，让学生利用台秤从站立到蹲下的过程中观察台秤示数变化，理解“支持力小于重力，物体具有竖直向下加速度，物体处于失重状态；支持力大于重力，物体具有竖直向上加速度，物体处于超重状态”。由此，学生对诸如电梯的启动、制动过程，小球落在竖直固定在水平面上的弹簧上，再到下降至最低点的过程等等，都会有清晰的认识与理解。

其二，教会学生分析物理过程、现象的方法。李政道教授在谈到物理学习时曾指出：“一般不要先用数学去解释。第一步应解决的是观念问题，第二步才是精密计算。如果对某个问题观念上有问题，那计算就是次要的了。”这里的观念问题就是要分清物理过程，及依据不同的过程找到其遵循的规律。分析物理过程就是弄清物理过程的具体细节、分析其前因后果、制约条件及其包含的知识要素和基本规律。首先，正确选择研究对象，在一个物理过程中往往存在着相互关联的几个物体，选择系统性分析还是个别性分析对于问题的解决是至关重要的，一般原则是优先“适用整体法”，然后“适用隔离法”。其次，分析研究对象的过程、状态变化，包括运动形式(或轨迹)、受力关系、能量关系、状态参量、临界条件等，以及按时间顺序把一个复杂过程分成几个简单过程或将同一时间内发生的几个相关联的过程，分成几个简单的过程。最后，确定每一过程中成立的物理关系和物理规律，也就是找到解决物理问题的物理关系式，为下一步“精密计算”奠定正确基础。

2.强化数理结合的训练。我们先来看看伽利略这个著名的数学推论：根据亚里士多德的论断，一块大石头的下落速度要比一块小石头的下落速度大。假定大石块的下落速度为8，小石块的下落速度为4，当我们把两块石头捆在一起时，大石块就会被小石块拖着减慢，结果整个系统的下落速度应该小于8；但两块石头捆在一起，总的重量比大石块还要重，因此整个系统下落的速度要比8还大。这样，就从“重物比轻物落得快”的前提推断出了相互矛盾的结论，这使亚里士多德的理论陷入了困境。曾在两千年的时间里被人们奉为经典的论断就这样被数学“推”倒了。毋庸置疑，数学方法和数学思想在解决物理问题中的重要性。

为此，在物理教学中，必须强化学生的数理结合意识与能力的培养。首先是强化学生的数理结合意识。从哲学意义而言，人的意识的理性形式就是把握事物的本质、事物的全体、事物的内部联系。有了数理结合意识就能够更加全面、透彻的分析物理问题，把蕴含在物理过程、现象中的关系运用数学方式精确的表示出来。例如，笔者通常会利用如下物理过程对学生进行数理结合意识的练习。如图3所示，竖立的弹簧固定于水平面上静止，现将一质量为m的小球(可视为质点)轻轻放在劲度系数为k的弹簧上端，在小球下降至最低点的过程中，分析小球运动的速度和加速度变化情况。首先要求学生必须根据牛顿第二定律和胡克定律，建立起小球受力的数学关系：mg-kx=ma。然后，让学生通过变量x的变化对关系式：mg-kx=ma中各量的数学关系作出判断，从而准确地把握小球下落过程的各个阶段，即开始阶段：mg>kx，小球a减小，v增大；临界状态：mg=kx，小球a=0，速度达到最大值vm；最后阶段：mg

其次是培养学生将物理问题转化为数学问题以及运用数学进行推理计算的能力。马克思曾说过:“一切科学只有成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”对此，《考试大纲》中也有明确的阐述：“要求学生能根据具体问题列出物理量间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形及函数图象进行表达、分析，能进行正确的数学运算。”数学方法是研究物理问题、进行科学抽象和思维推理的重要工具，而且在高考物理试题中，数理结合问题往往成为考查学生综合能力与素质的重要题型。因此，要将培养学生将物理问题转化为数学问题以及运用数学进行推理计算的能力作为高中物理教学的核心目标之一，始终贯穿于高中物理课堂教学之中。比如，在“直线运动”一章中，教会学生利用极限概念和图象研究速度、加速度和位移；用代数法和几何法研究运动规律和轨迹；用矢量运算法则研究位移与速度的合成和分解等。

另外，在习题教学中，进行具有针对性的训练，也是提高学生利用数学方法解决物理问题的能力的重要途径。并利用习题教学让学生掌握常用的数学方法，包括：数学方程法、函数极值法、基本不等式的运用方法、微元法、几何方法、图象法、数学递推归纳法等。

【例题】在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。

在教授这样的习题时，笔者通常会让学生运用多种数学方法进行求解，以求数理结合训练成效的最大化。

【解法一】临界法:

火车A和B运动过程，如图4所示。