《简单的线性规划问题》的教学设想

梁建莺

摘 要：就线性规划这一节的教学提出看法，该内容在新课程中安排在二元一次不等式之后，在学生还未学习直线的基础上来教学，理解如何用图象来确定最优解和求目标函数的最值.

关键词：线性规划；目标函数；最优解；可行域；斜率；截距

一、提出问题

某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

二、分析问题

问题一：该厂所有可能的日生产安排是什么？设生产甲产品x件，生产乙产品y件，从而得到二元一次不等式组x+2y≤84x≤164y≤12x≥0y≥0，并且画出不等式组所表示的平面区域（如图1），平面区域内的所有整数点就代表所有可能的日生产安排.这一问题学生均能理解，找整数点的问题在上一节内容的学习中便可找到.

问题二：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？由上题分析，学生会很快列出利润的表达式，设利润为z万元，z=2x+3y，学生可能会将上题的答案逐个代入，求得最大利润.这其实也是一种方法，将所有的可行解代入求得最优解，但如果可行解有无数个，那么问题又该如何解决.

三、解决问题

z=2x+3y这一目标函数的值随着x，y在可行域内的值不同而改变，如何确定最优解笔者认为最关键的是以下两点：一是让学生明白目标函数对应的方程反应在坐标系中是一族平行直线.在可行域内任意取一整数点，即x，y的值，z的值也确定了.不妨先任意地取几个z的值，如2x+3y=0，2x+3y=10，2x+3y=14，上述几个二元一次方程，学生往往需要通过变形才知道方程所表示的曲线为直线，而且作图后发现相互平行.这时提示学生将目标函数也变形，在学生初中学习中一次函数y=kx+b表示的图象是直线，所以会将目标函数变形为y=kx+b，即y=-，這样z值不同，所表示的直线也不同，但直线是相互平行的，而的确定，需要在可行域内任意找一个整点坐标代入便得.二是在目标函数的变式y=-为直线在y轴上的截距，那么求目标函数的最值就是求直线y=-在y轴上截距的最大值.在没有进行生产的情况下，z的初始值为0，此时2x+3y=0，即y=-x直线进过原点，当x，y的值取可行域的值时，即将直线y=-x往可行域平行，直线在y轴上的截距也随之增大，当直线与可行域有公共点（4，2），且在y轴上的截距最大时，即生产甲4件，生产乙2件利润为最大z=2·4+3·2=14万元，（如图2）.这样线性规划问题就得以解决.

四、问题的归纳总结

在上述问题的处理过程中，通过实际举例画图来体会如2x+3y=0，2x+3y=10，2x+3y=14等直线的平行，从而有了平移直线的过程使得目标函数z的变化来求得最值.因此，图解法求线性规划问题的大致步骤：

（1）列出线性约束条件的不等式组；

（2）画出不等式组所表式的可行域；

（3）平移目标函数z=ax+by（a>0，b>0）（z=0），找出与可行域有公共点且在y轴上的截距最大的直线；

（4）求出此公共点的坐标，即最优解代入目标函数求得最值.

五、存在的问题

目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的情况在上述例题中的最优解求解过程学生已经掌握，若x，y的系数a，b的符号并非全为正数，又该如何求解最优解，这些内容还需课时补充.如设z=2x-y，使x，y满足下列条件y≤xx+y≤1y≥-1，求z=2x-y的最大值.非线性目标函数的最优解.

若知道直线的斜率，由于目标函数所在直线的斜率与线性约束条件中其中一条边界所在的直线斜率相等，所以在平移目标函数过程中，会发现最优解有无数个，所有可行域中这条直线上的点均为最优解，答案马上可得.

在教学实践过程中帮助学生更好地理解图解法求线性规划问题的方法，由于教科书内容顺序的安排，在理解书本上的解题过程中，出现未知知识，需讲解到位，掌握图解法解线性规划问题的步骤.

？誗编辑 温雪莲