对数列与函数相关问题的一些探讨

江秋煜

摘 要：在解数列综合题中经常碰到与函数相结合的题目，对于这类题目不少学生感到难度较大，其主要原因是有的学生难以运用函数知识进行解题。通过具体的例子来说明这类题型中的一些求解方法。

关键词：高考数学；数列问题；思考归纳

从函数对应的角度看，数列可以看成定义在正整数集（或其子集）上，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。数列是一种特殊的函数。很多数列问题都可以放到动态背景下考虑，运用函数的概念、性质、图象从较高的角度去讨论。本文举例说明函数思想在处理数列问题中所发挥的作用。——包括了数列与对数函数相结合，数列与导函数相结合，数列与函数图像点（根）相结合。

一、数列与对数函数相结合

例1.Sn是等差数例{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1.

（1）求b1，b11，b101.（2）求数列{bn}的前1000项和.

【解析】（1）设{an}的公差为d，S7=7a4=28，

∴a4=4，∴d==1，∴an=a1+（n-1）d=n.

∴b1=[lga1]=[lg1]=0，b11=[lga11]=[lg11]=1，b101=[lga101]=[lg101]=2.

（2）记{bn}的前n项和为Tn，则T100=b1+b2+…+b1000

=[lga1]+[lga2]+…+[lga1000].

当0≤lgan<1时，n=1，2，…，9；

当1≤lgan<2时，n=10，11，…，99；

当2≤lgan<3时，n=100，101，…，999；

当lgan=3时，n=1000.

∴T1000=0×9+1×90+2×900+3×1=1893.

【考点解析】（1）掌握对数的基本运算；（2）理解[x]表示取整。

二、数列与函数图象点（根）相结合

例2.已知{bn}是公比大于1的等比数列，b1，b3是函数f（x）=x2-5x+4的两个零点.

（1）求数列{bn}的通项公式。

（2）若数列{an}满足an=log2bn+n+2，且a1+a2+a3+…+am≤63，求m的最大值.

（1）因为b1，b3是函数f（x）=x2-5x+4的两个零点，

所以b1，b3是方程x2-5x+4=0的兩根，故有b1+b3=5b1·b3=4，

因为公比大于1，所以b1=1，b3=4，从而b2=2，

所以，等比数列{bn}的公比为q==2，bn=b1·qn-1=2n-1。

（2）an=log2bn+n+2=log22n-1+n+2=（n-1）+n+2=2n+1，

所以，数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，

故有a1+a2+a3+…+am=3m+×m（m-1）×2=m2+2m≤63，

即m2+2m-63≤0，解得-9≤m≤7，所以m的最大值是7。

【考点解析】（1）会转化函数零点与方程根的关系；（2）会进行必要的对数运算。

三、数列与导函数相结合

例3.在数列{an}中，a1=，若函数f（x）=x3+1在点（1，f（1））处切线过点（an+1，an）。

（1）求证：数列an-为等比数列。

（2）求数列{an}的通项公式和前n项和公式Sn

【解析】（1）因为f ′（x）=3x2，所以切线的斜率为k=f ′（1）=3，而切点（1，2），

切线方程为y-2=3（x-1），即y=3x-1：

又因为过点（an+1，an）所以an=3an+1-1，即3an+1=an+1①

所以3an+1-=an-，即3（an+1-）=an-，从而得到=

即数列an-为一等比数列，公比q=。

（2）由（1）得an-为一公比为q=，首项a1-=-=的等比数列，则an-=×n-1，即an=·n+，Sn=+++…++=+

【考点解析】（1）会对函数求导，求出切线方程；（2）会利用等比数列an-来求原数列{an}的通项公式和前n项和公式Sn。

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。特别是数列知识和函数的知识综合成为近年高考的热点，常在数列解答题中出现。

参考文献：

[1]王北生.新课标下高中数学数列问题的研究[J].理论教育，2016.

[2]仪晓芹.高中数学数列单元的教学设计[J].新课程，2017.

？誗编辑 温雪莲