函数与方程思想的重要性

符鹰

高斯曾经说过这样一句话——世界上万事万物都能转化为数学问题，而数学问题又一定能转化为方程问题，函数也是含未知量的等式，只不过不是一元，是二元，可以说所有函数也都是方程。函数与方程思想是数学学科中六大思想中最为重要的思想之一。函数与方程紧密结合，而又密不可分，两者可以互相转换。运用函数与方程的思想方法可以将一些抽象复杂的问题简单化，巧妙地转换数量之间的关系，用函数图象代替抽象的数量关系，从而搭建解决抽象问题的桥梁。同时，函数与方程的思想也与数形结合等思想紧密联系，促进数学系统性思想的提升。通过苏教版高中数学必修1第3.4.1的第三课时“函数与方程3”的教学设计来阐述函数与方程思想的重要性。

一、教学设计

1.教学目标

（1）利用一元二次函数的图象和性质解决有关一元二次方程根的分布问题。

（2）体验并理解函数与方程相互转化及数形结合的数学思想。

2.教学重点、难点

重点：利用函数的图象和性质研究一元二次方程根的分布。

难点：函数和方程思想的相互转化。

3.教学设计思路

本节课是函数与方程的第三课时，第一节讲解了函数零点知识，第二节内容讲解了二分法求解函数零点问题，学生已经对数形结合和函数方程思想有了初步认识，第三课时主要是利用二次函数图象研究一元二次方程根的分布问题。首先通过证明一个简单二次函数根的分布问题，对初中求根方法以及高中所学零点存在性定理进行复习；接下来让学生根据根的分布情况求解一个含参一元二次方程的参数取值范围，并设置多个变式，解释各种可能性，从而得到一般情况。最终将一元二次方程根的分布问题进行拓展。整个教学过程，在基础题目模型的基礎上，通过改编，层层深入，给学生渗透函数与方程的相互转化思想，让两者有机

结合。

4.课堂设计

（1）课题引入。

引入：证明函数f（x）=x2-4x+2有一个零点在（0，1），另一个零点在（3，4）上。

设计意图：引入简单的二次函数根的分布问题，学生提出可以通过将此函数问题转化为相应的一元二次方程，利用求根公式法来解决问题，从而提出了二次函数问题向一元二次方程问题的转化思想。此题还可以通过零点存在性定理进行解决，提出“函数从上至下，又从下至上穿过x轴就代表函数与轴有两个不同交点”，帮助学生更好地理解应用零点存在性定理。

（2）通过例题和变式阐述一元二次方程向二次函数的转化。

例1.已知关于x的方程x2+ax+2=0满足一个根小于1，一个根大于1，求实数a的取值范围。

变式1：两根都大于1；

变式2：两根都小于1；

变式3：两根都在（0，3）中；

变式4：一根在（0，1）中，一根在（2，3）中。

设计意图：①引导学生将二次函数零点分布问题转化为一元二次方程根的分布问题进行求解。要实现函数与方程的相互转换，例1则是引导学生将一元二次方程根的分布问题转化为二次函数零点分布问题。例1的方程和引入只相差了一个参数，让学生有一种“熟悉感”。

②例1和4个变式的设置是层层推进，由简到繁，基本阐述了可能出现的根的分布问题。例题以及变式的展示都在几何画板里进行，通过几何画板函数图象的变化，让学生观察图象并写出满足根的分布的等价条件。例题中提出“判别式Δ>0”可以不用写出来，因为函数穿过轴就代表Δ>0一定成立。同样，在变式4中也不需要添加这一条件，但变式1、2、3中需要。

③通过引入和变式总结出一元二次方程根的分布问题的解题步骤，转化为二次函数，数形结合，从函数图象判别式、开口、对称轴、端点值进行思考，写出相应条件。通过这些问题在黑板上进行一般性问题的等价条件的板书。

例2.若关于x的方程4x+a·2x+a+1=0有两个实数解，求a的取值范围。

变式1：若关于x的方程4x+a·2x+2=0有实数解，求a的取值范围。

设计意图：例2只需令t=2x，t>0，方程就化解为t2+at+a+1=0，此题化为t2+at+a+1=0有两个正实数根。就将例1中变式1的“大于1”变成了“大于0”。而变式1要求更高，此题化为t2+at+a+1=0有正实数根，可分为只有一个正根、两个正根来进行分段讨论。此题如此设计，主要是希望学生能够揭开表面看本质，由于t=2x，x∈R是一个一一对应的单调函数，所以例2仍旧是一个一元二次方程在某特殊值右侧有两根问题，从而促进了学生举一反三的能力，加深了学生对函数与方程思想的理解，更突出了本节课的主旨。变1的设计则更提高了学生的思维能力，特别激发了中上等学生学习本章节的兴趣。

二、教学反思

本节课主旨为“函数与方程思想的重要性”，围绕这个主题，整节课设计层层递进，逻辑性强，由最开始引入二次函数零点分布问题转化为方程根的分布问题，再到例1、例2一元二次方程根的分布问题转化为二次函数零点分布问题，重点在后者。方程转化为函数问题，实际上就是数形结合思想的运用，例1的四个变式由简入难，是本节课的亮点，将可能的根的分布问题讲透，让学生在遇到类似问题时都能举一反三，不再犯简单错误。

本节课是一节对外公开课，整个教学过程采用黑板与PPT以及几何画板的多种教学手段相结合的形式，例1在几何画板中展示图象，并且移动图形，能更直观地让学生看出满足根的分布情况的等价条件。多媒体的运用也增强了学生的学习兴趣。

函数与方程看似不同的两个概念之间实际上是辩证统一的，两者可以进行相互转化，将抽象的数量关系与直观的几何图形结合在一起。在平时的教学以及习题讲解中，如果教师能够适时地渗透给学生这一思想，那学生在解题中也会达到事半功倍的效果。

？誗编辑 温雪莲