一道课本练习题的解法探究

曾子斌

摘 要：以人教版必修4第147页第三章《三角恒等变换》复习参考题B组第7题进行研究性学习为例，探究在高中数学教学中，如何启发学生剖析问题，深入挖掘课本习题蕴含的数学知识、思想和方法，学会学习，培养学生的学科素养和科学精神。

关键词：课本习题；探究；学会学习

数学是思维的体操。教师应抓住高中生思维发展的飞跃时期，利用成熟期前可塑性大的特点，鼓励学生在数学解题中多动脑思考，找到解题方法和规律。故在教学时要立足课本，不是简单地查找课本中相关题目，一做了之，而是深入挖掘课本相关内容的数学知识、思想和方法，研究习题背景及其内在联系，引导学生探究不同解法，学会学习，从而培养学生的学科素养和科学精神。本文以人教版必修4第147页第三章《三角恒等变换》复习参考题B组第7题为例，深入挖掘，多角度探究，抛砖引玉。

例 如图1，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数。

分析：本题考查了正切的定义、两角和的正切定义、向量的数量积与夹角、三角形及正方形的基本性质、全等三角形的判定及性质、旋转变换，是必修4中的一个数形结合题型的综合应用题。可首先考虑到点P、Q为动点，把P、Q放特殊位置B、A处，可以得到∠PCQ=45°。现通过以下解法进行探究，求得∠PCQ=45°即可。

解法1：旋转法

先介绍一种初中平面解题思路，学生会比较有兴趣。如图2，旋转△CDQ使得CD与CB重合，易得PE=PB+DQ，而PQ=2-AQ-AP=PB+DQ=PE，根据SSS易证∠PCQ=∠PCE=45°。

解法2：平面向量法

本方法是学习高中数学必须掌握的解题方法借助向量工具解决“边与角”的问题，但这题用本方法解题的过程中计算量偏大，故具体讲解时以拓展解题思路为主。根据图3设相应的边和角，借助向量工具得。

解：如图3，建立平面直角坐标系，设AP=x，AQ=y；

则：=（-1，y-1），=（x-1，-1）

cosθ=

=

∵△APQ的周长为2，∴x+y+=2

可得x=

带入上式化简可得cos∠PCQ=

即∠PCQ=45°

解法3：三角函数法

本题用到化归思想、函数思想，特别是突出“三角函数”是解决“角与边”问题的工具。首先按图4所示设对应的边和角有互余把求∠PCQ转化为求（α+β）的和角问题，观察结构，发现tanα和tanβ容易计算.故选择tan（α+β）展开。

tan（α+β）==，通过三角函数转化为边的关系。观察右式特点，需要把（x+y）与xy整体互换。根据已知条件x+y+=2可得xy=2（x+y）-2带入化简可得tan（α+β）=1，返回所求角，问题解决.

解：设AP=x，AQ=y，∠DCQ=α，∠BCP=β

则tanα=1-y，tanβ=1-x，

tan（α+β）==，

∵△APQ的周长为2，

∴x+y+=2，可得xy=2（x+y）-2，

∴tan（α+β）==1.

又∵0<α+β<，

∴α+β=，

即∠PCQ=-（α+β）=

解法4：解三角形法

学习必修5以后，又可用到解三角形方法——余弦定理建立起边角关系，和向量法一样，计算量偏大，介绍解题思路为主。

cos∠PCQ==

根据已知条件x+y+=2可得x=，带入上式化简可得cos∠PCQ=

解：设AP=x，AQ=y；

则：CQ= CP= PQ=

在△CPQ中，

cos∠PCQ==

∵△APQ的周长为2，∴x+y+=2

可得x=

带入上式化简可得cos∠PCQ=

即∠PCQ=45°

教育心理学理论认为：思维是人脑对事物本质和事物之间规律性关系概括的间接反映。只有把掌握知识、技能作为中介来发展学生的思维品质才符合素质教育的基本要求。一题多解可拓宽思路，通过不同数学内容的联系与启发，强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，自然而然得到题目的另一种解法。教师的教法常常影响到学生的学法，灵活多变的教学方法对学生思维灵活性的培养起着潜移默化的作用，在体验一题多解的过程中，启发和引导学生的数学思维，养成主动探究，积极思考的好习惯，有利于培养学生的数学素养和科学精神。深入、大胆质疑、完备知识，对数学知识自然明了。

參考文献：

[1]庞维国.论学生的自主学习[J].华东师范大学学报（教育科学版），2001（2）.

[2]陈琦.当代教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，1997：102.

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