亲身体验有利于学生对数学概念的内化

徐乐乐

随着深圳市龙华区数学研修活动的深入开展，磨课已成为我们最常用、最喜欢的教研方式。同学科的老师聚在一起，针对具体课例，在反复研讨、上课中践行新理念，探寻新方法，获得新成长。上次，我们教研组打磨的课例是“平面直角坐标系”，这是北师大版数学八年级上册第三章“位置与坐标”中第二节第一课时，研讨的主题是教学流程的有效性与教学难点的突破，由我执教，得到与会者的一致肯定。现将本课磨课过程整理成文，与大家探讨。

一、第一次教学简录

环节一：情景创设

1.回顾旧知

问题1.在现实生活中确定物体位置有哪些方式？

問题2.在直线上确定一个点的位置一般需要几个数据？在平面内确定一个点的位置一般需要几个数据？

2.故事引入

播放数学家笛卡尔发明平面直角坐标系的故事视频。

（设计意图：通过引人入胜的数学家的故事，渗透数学史教育，吸引学生学习平面直角坐标系的注意力，进而引入新课，揭示课题。）

环节二：自学交流

组织学生阅读自学课本的内容，并分小组讨论解决下列问题。

问题1：平面直角坐标系是如何构成的？

问题2：怎样划分平面直角坐标系的象限？

问题3：怎样确定点的坐标？怎样写出点的坐标？

之后，由学生代表画一个平面直角坐标系，并解释画法。

（设计意图：培养学生阅读教材的能力，组织学生互帮互助，这样既节省课堂学习时间，又能调动学生学习的积极性。）

环节三：交流探究

问题1：如何确定图1中点P的横、纵坐标。

（设计意图：由学生讲解由点来确定坐标的方法，巩固自学的成果，并引出下面的问题。）

问题2：在同一平面直角坐标系内，点Q（4，3）与点P（3，4）表示的是同一个点吗？为什么？

问题3：分别写出图2中多边形ABCDEF各个顶点的坐标。

问题4：你们写出的点A的坐标相同吗？点B的呢？由此你得出什么结论？

（设计意图：在学生独立思考、交流想法的基础上，教师适时给予点拨，进而归纳得出：在平面直角坐标系中，一个点只对应一个坐标，为突破本课教学难点做准备。）

问题5：做一做（课本60页“做一做”）

（1）在如图的平面直角坐标系中描出下列各点：

A（-5，0），B（1，4），C（3，3），D（1，0），E（3，-3），F（1，-4）.

（2）依次连接ABCDEFA，你得到什么图形？

（3）思考：在这个问题中，根据A点的坐标你在直角坐标系中描出了几个A点？B点呢？由此你能得出什么结论？

问题6：通过上面的活动，在平面直角坐标系中，点与实数对（坐标）之间有何关系？

（设计意图：分别让学生“根据点的位置写出它的坐标”及“根据坐标描出相应的点”，从而使学生更好地理解平面直角坐标系的思想，感受坐标与点的一一对应关系。）

教学感悟：本课教学既有学生合作学习，又有老师的引导，还有学生的自学，课堂上教师给予学生充分的学习自主。可以说，本课教学能体现教师的指导作用、学生的主体作用。但本课概念多，内容也多，学生自学费时较多。与此同时，虽然课堂上观看了故事视频，但从课堂观察来看，这并没有真正调动学生学习的兴趣。为什么要学习平面直角坐标系？这是学生课后仍存在的疑问。特别是，由于欠缺学生的体验性理解，本课教学难点（平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应）并没得到有效突破。

二、改进及第二次教学简录

1.创设情境，导入新课

（1）找座位

师：今天我们在一个新教室上课，座位摆放和原来教室不一样，每人手上有一张纸条，纸条上有一个数对，第一个数字代表排数，第二个数字代表列数，大家能否根据自己手中的纸条找到自己的位置呢？

（设计意图：让学生自己找座位，体会确定位置的方法，帮助学生从自身的生活实际和经验中“感知”数对与位置的对应关系。）

（2）回顾旧知

问题1：在现实生活中确定物体位置有哪些方式？

问题2：在直线上确定一个点的位置一般需要几个数据？

在平面内确定一个点的位置一般需要几个数据？

2.实践探究、交流新知

合作交流：小组讨论预习的学案，每一位同学要清楚下列几个问题：（A、A+层学生要指导B、C层学生）

问题1：平面直角坐标系是如何构成的？

问题2：怎样划分平面直角坐标系的象限？

问题3：怎样确定点的坐标？怎样写出点的坐标？

（设计意图：本课是一节基本概念课，概念多，但较为直观，学生阅读理解并不太难。设计预习学案让学生课前预习，课堂上再组织小组内部互帮互助，明确合作的任务，可节约课堂时间，以更好地突破本课的教学难点。）

3.互动游戏，难点初探

教师先以教室的座位为背景建立平面直角坐标系，同学确认好自己座位对应的坐标后，开展如下游戏：

游戏一：你的朋友是谁？

规则：老师叫出一位同学的名字时，该同学要快速说出自己的坐标，并且说出你的一位朋友，你的朋友接着说出自己的坐标，再说出一位朋友……其他同学判断他们所说的坐标是否正确。

游戏二：坐标接龙

老师说出第一个坐标，处于该位置的同学站起来，由他说出第二个坐标，符合这个坐标的同学站起来，并说出第三个坐标……不间断地接下去，其他同学判断是否正确。

（设计意图：让学生在游戏中体会点与坐标之间的一一对应关系。同时，通过游戏活动，可以激发学生主动参与课堂学习活动的兴趣。）

4.练习提升，难点突破

例1.写出图中多边形ABCDEF各个顶点的坐标。

■

思考：你和你的同伴所写出的点A的坐标相同吗？有几个？点B的呢？由此你能得出什么结论？

（设计意图：由点来确定坐标，感悟一个点对应唯一一对有序实数对。）

例2：做一做（课本60页“做一做”）

（1）在如图的平面直角坐标系中，描出下列各点：

A（-5，0），B（1，4），C（3，3），D（1，0），E（3，-3），F（1，-4）.

（2）依次连接ABCDEFA，你得到什么图形？

（3）思考：在這个问题中，根据A点的坐标你在直角坐标系中描出的点A的位置与你的同伴相同吗？点B呢？由此你能得出什么结论？

（设计意图：由坐标来确定点，感悟由一对有序实数对只能找到唯一的点。）

教学感悟：本次教学，加入让学生自己找座位的环节，让学生初步感受有序实数对与点的位置之间的对应关系。在突破“点与坐标一一对应”这个难点时，由于加入游戏环节，学生课堂参与的积极性变高了，他们在游戏中体会了一位同学只能对应一个坐标，以及一个坐标只能对应一位同学，从而使教学难点得到更有效的突破。但是，为什么要建立平面直角坐标系呢？他们没能感受到引入平面直角坐标系的必要性。而且，从游戏过渡到例题的学习时，由于游戏与例题教学衔接不自然，导致获得“平面直角坐标系内点与坐标之间的一一对应关系”这一结论，仍不是学生在潜意识中自然“迸发”出来的。于是，如何让学生努力投入对建立平面直角坐标系的必要性思考中，让他们在参与活动的过程中产生内心的体验和创造，在突破难点的过程中感悟数形结合的数学思想方法，我对本课做了进一步改进。

三、改进及第三次教学简录

1.创设情境，导入新课

（1）找座位

与第二次上课的环节一致。

（2）创设情景

师：我们学过数轴，知道在数轴上确定点的位置只需要一个数字就够了。现以第三排的同学所在的直线建立一条数轴，张红同学为原点，向右为正方向，那这一排同学所对应的数分别就是1，2，3，4，-1，-2，-3，-4，这样，这一排同学的位置就确定了。请问：李×同学所对应的数是多少？

生：-2.

师：3这个数字对应的是那位同学？

生：江××。

师：李××呢？他对应的数是多少？

生：没有，他并不在数轴上。

师：那要用数字来表示他的位置，该怎么办？

生：再建立一条数轴。

师：那该如何建立另一条数轴呢？

生：以张×为原点，以她正前方为正方向，她正后方为负方向，就可以建立另一条数轴了。

师：你们的意思是说，第二条数轴应与第一条数轴的原点相同，而且要互相垂直，对吗？

生：是的。

师：那现在能找到李××同学所对应的数了吗？

生1：应用一对数来表示，是（3，2）。

生2：不对，应是（2，3）。

师：究竟应是（3，2）还是（2，3）呢？学习了今天的内容后我们便有正确答案了。

（设计意图：抽象的形式化概念被自然地镶嵌于一种概念与经验相连的情境之中。要让学生产生持续的兴趣，就必须让知识内容不断切入更深的层次，让学生体验到学习内容的深度，激发其探究的渴望。本课从已有的知识〈数轴〉引入新课，从学生原有的知识及生活体验出发，在探究运用数对来表示同学的位置的过程中，体会建立平面直角坐标系的必要性及建立的方法。）

2.实践探究，交流新知

探究1：（与第二次课“环节2”类似）

探究2：

任务一：建立一个平面直角坐标系，并在坐标系中描出点。

A（3，1）、B（-2，2）、C（-1，-2）、D（3，-1）、E（5，2）、F（4，-3）、G（-3，4）、H（3，-3）、

任务二：小组内部相互检查上述坐标是否正确，并讨论上题中所描出的点的横坐标、纵坐标的正负与该点所在的象限的关系。

第一象限：（ 、 ），第二象限：（ 、 ）

第三象限：（ 、 ），第四象限：（ 、 ）

（设计意图：有效的教学活动是学生学与教师教的统一。让学生自主建立平面直角坐标系，描出相应的点，然后同伴互帮互助，教师有针对性地选择学生代表展示，并给予具体的积极性的评价，一方面可以促进学生在解决问题的过程中巩固本课基础知识，初步感受点与有序数对的对应关系，另一方面可以促进学生的合作学习，同时，点M的设计，可以促进优秀学生的发展。）

3.互动游戏，突破难点

游戏一：你在哪里？

规则：老师说出某一象限或者x轴、y轴，处于相应位置的同学们请站起来。

（设计意图：通过游戏的方式，让学生体会坐标轴上的点不属于任何象限，以及每一象限的点的坐标的特点等性质，提升学生课堂参与的积极性，感受对应的内涵，促进知识的内化。）

游戏二：你的同伴在哪里？

规则：老师指定一位同学，那么在坐标轴上与这位同学的横坐标（或纵坐标）相同的同学站起来。

（设计意图：在游戏中让学生体会确定点的坐标的方法，并让学生体会，处在坐标轴上的同学的朋友只有原点位置的同学和自己本身，自然得到，x轴上的点的纵坐标等于0，y轴上的点的横坐标等于0。与此同时，通过游戏活动，让抽象的知识直观化、具体化，加深了学生对知识的理解，促进学生的课堂参与。）

游戏三：你的朋友是谁？

规则：当老师点名某位同学时，该同学要快速说出自己的坐标，并且说出你的一位朋友，你的朋友接着说出自己的坐标，再说出自己的一位朋友……其他同学判断他们所说的坐标是否正确。

游戏四：坐标接龙

老师说出第一个坐标，处于该位置的同学站起来，并说出第二个坐标，符合第二个坐标的同学站起来，并说出第三个坐标……不间断地接下去，其他同学判断是否正确。

想一想：在平面直角坐标系内，一个点可以对应几对有序实数对？一对有序实数对可以对应几个点？为什么？

生：因为在游戏中一位同学只对应一个坐标，而给出一个坐标时只能找到一位同学，因此，一个点只能对应一对有序实数对，而一对有序实数对也只能对应一个点。

师：这也就是说，在平面直角坐标系内，点和有序实数对是一一对应的关系。

（设计意图：借用课起始时建立的平面直角坐标系，将学生看作坐标平面内的点，让他们在游戏的过程中反复体验平面直角坐标系内点和有序实数对一一对应的关系，感悟数形结合思想方法。）

（4）介绍历史，激发兴趣

播放平面直角坐标系产生历史的视频。

四、教学感悟

将抽象知识直观化、具体化，有利于促进学生对知识的理解。本课在引入环节里，通过学生“找座位”“确定同学位置”等活动，让学生认识到数学与生活的密切联系，体会建立平面直角坐标系的必要性。把抽象的平面直角坐标系“搬到”学生所处的教室里，促进抽象知识的直观化，提高学生参加数学学习活动的积极性，培养学生的好奇心。在难点突破环节，大胆整合教材，再次利用教室里的“形”，将平面直角坐标系中的“点”直观化为班级的每一位同学，让他们在游戏中学会由点确定坐标及由坐标确定点，在游戏中感悟点与坐标的一一对应关系，既有效突破本节课的教学难点，又可让学生在游戏中体会数形结合的思想，激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，促进学生参与，提升课堂教学效果。

在概念课教学中，教师要揭示概念产生的背景，促进学生内化数学概念，以帮助学生之后对数学概念的外延进行学习。在揭示概念产生的背景的学习过程中，教师创设的情景要尽可能让数学概念贴近其产生的历史进程，即从知识产生的需要出发，让学生大胆地猜想，体验到数学概念的产生是自然的、合理的，而不是人为强加的、凭空掉下来的。这样，有利于帮助学生形成数学学习自觉，发展数学思维，获得数学发现的基本经验。在帮助学生将概念内化的学习过程中，在教学上不仅要组织学生进行观察、分析，更需要组织学生思维上的积极参与。本课教学中，笔者引导学生及时对各个游戏中的共同属性进行数学抽象与概括，这样有利于学生更加准确、迅速地掌握概念，也使学生的归纳能力和逻辑思维能力得到了有效的培养。在整节课中，笔者通过组织学生小组讨论、合作探究，为学生相互学习和启发、相互取长补短提供时间和空间，促进学生的共同进步、共同提高，让学生在互帮互学的过程中提升对概念的理解。这样，学生既掌握了知识与技能，也感悟了解决问题的基本策略，同时体验到了数学的魅力。

参考文献：

[1]孔凡哲，曾峥.数学学习心理学（第二版）[M].北京：北京大学出版社，2012.

[2]曹才翰，章建躍.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2007.

？誗编辑 李博宁