有限群体势博弈Nash平衡点的存在性

黎继巧 杨辉 王柳伟

摘 要：本文通过有限群体博弈的相关知识，证明了二策略对称正规型有限群体博弈Nash平衡点的存在性、二策略有限群体博弈是势博弈，及有限群体势博弈Nash平衡点的存在性。

关键词：有限群体博弈；对称正规型博弈；势博弈；Nash平衡

中图分类号：O225

文献标识码： A

群体博弈的思想最早源于1950年Nash[1]在其博士学位论文中关于混合策略形式的平衡概念提出的“群体行动（Mass-action）”的解释，基于这个解释，之后相关学者建立了群体博弈理论，见[2，3]及相关文献。连续群体博弈模型的一个基本假设是群体中个体的数量充分大（统计学意义上），根据大数定律，单一个体改变策略可以忽略不计。但是现实中许多群体中的个体数量并不满足这个假设，用连续群体博弈模型解释不太贴切，于是研究有限群体博弈有实际意义。1979年，Riley[4]提出有限群体概念。1988年，Maynard Smith[5]提出疑问，在有限群体一个混合策略是稳定的吗？针对这个疑问，同年，Schaffer[6]提出有限群体模型的演化稳定性概念。Robert W.Rosenthal[7]于1973年提出拥堵博弈的概念，受此启发，Monderer和Shapley[8]于1996年定义了有限势博弈，并得到所有的平衡点是势函数的局部最大值点，并证明了每一个拥堵博弈都是势博弈。2001年， Sandholm[9]建立了有限代理人势博弈和无限代理人势博弈的关系。2011年，Sandholm出版的著作《Population Games and Evolutionary Dynamics》[3]系统地阐述了有限群体博弈模型，并对有限群体势博弈做了相关研究。有限群体博弈模型，群体中个体的数量有限，群体状态集是离散集，于是有限群体博弈Nash平衡不一定存在。

受以上工作启发，本文主要考虑有限群体势博弈Nash平衡的存在性，探讨二策略博弈和势博弈的关系，并关注特殊的二策略对称正规型匹配博弈生成的有限群体博弈Nash平衡的存在性。具体安排如下，首先给出基本定义和预备知识，其次给出一个不存在Nash平衡的反例，证明了二策略对称正规型博弈平衡点的存在性，验证了二策略博弈是势博弈，证明势博弈Nash平衡的存在性，最后对全文做一个总结。

参考文献：

[1]Nash J F. Equilibrium points in n-person games[J]. Proceedings of the national academy of sciences， 1950， 36（1）： 48-49.

[2]Blume L E. Population Games[J]. Game Theory & Information， 1998， 11（3）：211-217.

[3]Sandholm W H. Population games and evolutionary dynamics[M]. Massachusetts：MIT press， 2010.

[4]Riley J G. Evolutionary equilibrium strategies[J]. Journal of Theoretical Biology， 1979， 76（2）： 109-123.

[5]Smith J M. Can a mixed strategy be stable in a finite population？[J]. Journal of theoretical Biology， 1988， 130（2）： 247-251.

[6]Schaffer M E. Evolutionarily stable strategies for a finite population and a variable contest size[J]. Journal of theoretical biology， 1988， 132（4）： 469-478.

[7]Rosenthal R W. A class of games possessing pure-strategy Nash equilibria[J]. International Journal of Game Theory， 1973， 2（1）：65-67.

[8]Monderer D， Shapley L S. Potential games[J]. Games and economic behavior， 1996， 14（1）：124-143.

[9]Sandholm W H. Potential games with continuous player sets[J]. Journal of Economic Theory 2001， 97（1）：81-108.

（責任编辑：曾 晶）