残差修正灰色GM（1，1）模型的优化及在桥梁线性控制中的应用

2018-07-12李自林寇天旺

天津城建大学学报 2018年3期

李自林，寇天旺

（天津城建大学土木工程学院，天津 300384）

大跨度连续梁悬臂施工法是由零号块处沿轴线方向对连续梁分段浇筑的方法.采用悬臂施工的大跨度连续梁桥施工节段多，施工周期长，加上模板定位、变形误差和预应力筋损失等已知的误差，收缩徐变以及人为观测误差等未知的误差引起的挠度和应力变化，使得大跨度连续梁桥施工过程具有全程不确定性和随机性.同时在整个施工过程中经历混凝土浇筑、挂篮移动及预应力筋张拉的体系转变，结构施工产生的挠度值是动态变化的.线性监控是对连续梁桥在不同施工阶段的实际施工状态进行监控，识别施工的实际状态并根据目标状态时时调整下一梁段的施工.对连续梁轴线线形进行控制的方法有卡尔曼滤波法[1]、BP神经网络法[2]、灰色控制理论等.

灰色系统理论[3]是研究广泛存在的灰色系统的一种新理论.近些年来，灰色系统理论逐渐在桥梁建设中扮演愈加重要的角色，应用形式主要为以灰色系统理论为原理，建立灰色系统预测模型，通过已浇筑梁段测试数据作为资料，实现未浇筑梁段的挠度值预测.灰色GM（1，1）模型通过灰色生成可以将无规律数据通过数据列运算生成规律性较强的数据列，以此来减弱数据的随机性[4].将离散的数据序列看作是连续函数在变化过程中的离散值，通过差分方程与微分方程间的互换建立连续的动态微分方程[5].

1　残差修正GM（1，1）模型

残差修正GM（1，1）模型是将灰微分方程的解与一次累加值相减得到残差，并再次使用灰色GM（1，1）模型求解残差预测差值，利用预测差值修正一次预测值得到最终预测值.假设原始序列为n元数列

灰色生成最常用的是累加生成的方法.将n元数列X(0)（k）通过累加运算得到一次累加值X(1)（k）

利用一次累加序列建立灰微分方程

式中：未知量a为发展灰数；未知量u为灰色作用量.

引入灰微分方程的背景值

式中：μ 称为权重系数，μ∈[0，1].

假定μ取值0.5，则

求解方程（1）得到

原始序列X(0)与一次累加序列X(1)满足

根据最小二乘法求解式（5）可得

将式（6）所得参数代入到灰微分方程式（1）继续求解可得

将常数值c代入公式（7），灰微分方程的响应式为

记残差序列

取残差序列k0到n作为原始序列ε(0)（k）

进行一次累加得到

利用 ε(1)建立 GM（1，1）模型响应式为

残差修正表达式为

2　残差修正GM（1，1）模型的优化

2.1　优化方法

在建模过程中，有两次假设：①构造背景值时，假定权重系数μ取值0.5.②在求解微分方程时，假定X(0)（1）作为初始条件.

传统的灰色GM（1，1）模型的背景值构造方式是通过一次累加序列的紧邻数据均值生成，但尚无法从理论上证明其建模精度较高.刘寒冰等[6]针对传统多变量灰色模型背景值构造方式的缺陷，通过指数函数拟合了一次累加序列，改进了背景值构造方式，并成功应用在路基沉降观测中.王强[7]经过理论研究，提出了一种新的动态定权方法，并在高边坡变形预测中取得了较好效果.樊新海[8]采用了计算机技术，提出了一种计算机自动寻优确定权重系数的方法，建立了GMP（1，1）模型，并通过实例验证了其有效性.

传统灰色GM（1，1）模型以X(0)（1）作为初始条件对灰微分方程进行求解，即响应方程的解(1)（k）过点（1，X(0)（1））.张大海[9]指出灰色GM（1，1）模型是用指数曲线按照最小二乘法拟合X(1)（k），拟合的结果应满足

并分别以原始序列{X(0)（k）}中n个元素作为响应式的初始条件进行预测，使结果误差最小的X(0)（k）的值作为求解微分方程的初始条件.杨华龙[10]认为由于数据采集存在不确定性，导致{X(0)（k）}中的数据本身就存在误差，使预测误差达到最小的初始条件并不一定是序列{X(0)（k）}中的值，可采用最小二乘法原理利用原始序列与预测序列差的平方和

达到最小来确定初始条件c.

2.2　优化后残差修正GM（1，1）模型建立

本文将采用自动寻优方法确定该背景值权重系数的选取，采用该最小二乘法对初始条件进行优化.构造背景值时，涉及两个过程的优化：一是求解灰微分方程过程时背景值的构造及初始条件的选取；二是对残差改正值的预测时的背景值构造及初始条件的选取.首先令μ=0，给其增加一个微量Δμ，即μ=μ+Δμ，将其代入背景值表达式求出对应背景值，直至μ=1.这样得出背景值表达式

式中：μ∈[0，1].

令 H=c·（1-ea），将 H 代入灰微分方程（7），得到

已知

根据最小二乘法，利用X(0)（k）与(0)（k）差的平方和S达到最小值时来定H取值.其中

利用X(1)（k）与生成序列作差得到残差序列ε(0)，取其尾段序列为原始序列

构造背景值为

GM（1，1）模型响应式为

3　工程应用

3.1　模型建立

商合杭高速铁路跨G50高速连续梁跨径形式为48 m+80 m+48 m预应力连续梁.主梁采用挂篮悬臂浇筑法施工，零号块两侧各为10个施工块，第11号块为合龙块，支座处零号块长8 m，其余悬臂梁段长度为3.5 m至4 m.浇筑完毕及张拉预应力筋完毕后，每一节段混凝土自重荷载、所受外部荷载及预应力均会发生不同程度变化，且存在施工误差，伴随着混凝土收缩徐变效应，已浇筑梁段的变形具有随机性及不确定性，符合灰色系统建模的特征.故桥线形采用灰色控制理论进行控制，利用已浇筑梁段理论变形值和实测变形值之差作为残差修正GM（1，1）模型原始序列对未浇筑梁段标高进行预测.

为确定每节梁段的理论变形值，利用MIDAS/Civil有限元软件建立连续梁三维有限元模型，该模型单元类型为变截面三维梁单元，共划分346个单元，347个节点，共分为15个工况进行变形计算，连续梁计算模型如图1所示.为测定每节梁段变形实测值，在每节梁段端部截面处设置一组位移测试截面，零号块支座处布置一处测试截面，沿横桥向布置3个测点，全梁一共50个测试截面，150个测点.

图1　MIDAS有限元模型

3.2　优化后残差修正GM（1，1）模型应用

为研究优化后的残差修正GM（1，1）模型在连续梁悬臂施工线形控制中的应用效果，以34#墩大里程方向7#梁块施工变形预测为例，分析优化后的残差修正灰色模型在桥梁线性控制中的应用情况.

现浇段的立模标高值按如下公式计算

式中：H立为浇筑段的立模标高；H设为梁段的设计标高值；fi为每一节段的预抛高值.

fi可以根据下式计算

式中：f自为施工节段自重及后续节段混凝土自重所产生的变形值；f预为预应力束的张拉锚固梁段产生的变形值；f挂篮为该梁段挂篮变形值；fx为混凝土收缩徐变、温度、二期恒载、施工荷载、结构体系转变对梁段产生的变形值；f静为静活载作用于梁段产生的位移.

利用灰色模型对梁段变形值进行预测实际上是对未浇梁段预抛高值进行预测.将立模标高值加上预抛高调整值，可得到调整后的立模标高值.

采用2#梁块至6#梁块预应力张拉结束后理论变形值与实测变形值为原始序列.6#梁块浇筑完成且预应力张拉锚固结束，已浇筑完成梁段得到变形理论值与实际测试值见表1.

表1　34#墩各梁段变形值　mm

将差值 X(0)=（1.04，2.57，2.89，3.82，5.29）建立优化后的残差修正模型，利用自动寻优定权法求得当μ=0.469时，X(0)与序列残差平方和最小.此时求得a=-0.264 6及u=1.770 2.未进行残差修正的灰色模型表达式为6.690 1，求解出

由以上计算可知，7#梁段浇筑完成后，所产生的理论挠度值与实际挠度值差值的预测值为-6.703 5 mm.7#梁段理论变形值为-6.550 0 mm，故7#梁段实际变形的预测值为-6.550 0-6.703 5=-13.253 5 mm.而实际浇筑7#梁段完成后，测得7#梁段实测变形值为-12.60 mm，预测值与实测值相差0.65 mm，预测效果较好.

结合优化后残差修正GM（1，1）模型建立等维新陈代谢模型[11]，即每去掉一节段早期浇筑梁块竖向实测值与理论值差值数据，便加入一节段新浇筑梁块挠度数据，保持数据等维.以此对34#大里程方向未浇筑梁段将要产生的挠度值进行预测，预测结果如表2所示.

表2　优化后残差修正模型预测结果　mm

通过表2可以看出，优化后的残差修正GM（1，1）模型对剩余未浇筑梁块的变形预测值均接近于实际变形值，剩余未浇梁段中实际值与预测值差值最大仅为2.28 mm，证明优化后的模型对未浇筑梁段预抛高值预测效果较好，可以利用模型对未浇筑梁段预抛高进行预测.

通过建立传统灰色残差修正GM（1，1）模型对34#大里程方向未浇筑梁段将要产生挠度值进行预测，预测结果如表3.

表3　传统残差修正模型预测结果　mm

通过对比表2、表3可以发现34#墩大里程方向7，8，9，10号梁块采用优化后的残差修正模型比未优化模型预测误差差值分别为0.15，0.07，0.03，0.08mm，优化后模型预测误差均小于传统模型，预测效果较优.从整体预测结果来看，两种模型预测误差差值并不大，这是因为该数据列原始序列与预测序列差的平方和达到最小时，权重系数μ接近0.5.但经过优化以后，模型背景值与初始条件更加具有确定性，比使用假设值更加具有说服力.

在连续梁施工过程中，采用优化后的模型对未浇筑梁段施工标高进行动态调整，经过合龙段浇筑及剩余预应力钢束张拉，主梁施工完毕，主梁1#至50#测点线性控制结果如图2及图3所示.