谈《二次根式》的教学

范爱英

一、抓住二次根式教学的关键所在，突破教学难点

二次根式是在学习完数的开方，学生掌握了数的平方根、立方根的概念以及实数概念的基础上提出来的。二次根式的教学除了让学生在知识系统上为以后学习分数指数、n次根式、二次方程、无理方程等打下基础外，教师还应该注意到通过二次根式的教学，培养学生的两种数学思维方法，即：（1）条件分析讨论法；（2）逆向思维推理法。这两种方法学生都是初次接触，所以教师必须引导好，以便让学生在今后的学习中掌握和运用。在根式运算的加减法的教学中，教师必须引导学生逆向反用算术根的两个重要性质，因此，对于算术根的两个重要性质在教学上要反

复强调：①与·及与都是ab与的算术根：（a≥0，b>0），②算术根是唯一的，（3）被开方数是非负数这个条件不可忽视。知识的缺口往往就是对条件未能充分理解和使用造成的。这样，学生自然掌握二次根式运算的依据即二次根式的性质。在此教学中，在处理含有字母的根式时要进行条件分析讨论，这样分析讨论综合性的多向思维对学生来说，难度是比较大的。

因为思维扩散的需要，学生在学习和运用二次根式概念有关的两个重要公式：

①（）2=a（a≥0）；②=|a|=是比较困难的。为了突破这一教学难点，教师在教学中要强调根号内的被开方数是非负数，如，，，……中a≥0，a-b≥0，a+b≥0，a（a-b）≥0这一条件；另外还应注意到：=|a|这不仅是一种表达形式，更重要的是反映了算术根是正数这一本质属性；在求算术根的过程中可先取绝对值，再去绝对值的符号，这是较易掌握的好方法，在教学中宜强化这一表达形式。

二、二次根式教学方法的设计

为使学生主动，自觉地掌握知识，可采用：“启发，阅读，讲授教学法”。大体可分四个步骤，①每节课先由教师根据教材的需要和要求提出问题；②学生思考回答教师所提出问题，为掌握新课打下了基础，自然地进入新课；③学生边阅读教材边向教师提出问题，可以互相议论；④教师讲解教材，进行归纳，和解答学生提出的问题。四个步骤的时间安排大致是：①3～5分钟；②5～10分钟；③10～15分钟；④10分钟。剩下5～10分钟给学生完成堂上练习。

例如 “二次根式的加减”具体设计如下：

①出问题—②思考回答

让学生思考并回答下列多项式合并同类项的结果：x+2x=？ 3x2y-x2y=？ （m+n） 2-（m-n）2-25=？然后提出：+2=？13-9=？-=？（设计意图）为了帮助学生通过类比悟出根式加减运算法则，教师可以进行暗示性的启发，把题目换成：3个根号3加上2个根号3等于多少个根号3？对于第三个小题说明应先化简后运算。学生经过议论和类比思维，引起强烈的求知欲望，就及时转入引导学生阅读课本。

③阅读课本—④归纳小结

可提出下列问题可作为引导阅读的提纲：

⑴二次根式的加减运算与多项式的加减运算有什么相同和不同地方？

⑵二次根式的加减运算的步骤是怎样的？

⑶二次根式加减运算之前首先要解决什么问题？

教师与学生共同解答上述三个思考题的基础上共同小结出运算步骤：⑴先将每个根式化为最简根式；⑵将最简二次根式中的同类根式进行合并。最后让学生完成课本的练习和布置作业。（设计意图）这样安排，由于抓准教材关键做到重其所重，轻其所轻，学生有充分的时间思考和练习，积极主动地获取知识。

三、二次根式的学法指导

二次根式的关键知识点是算术根概念，要指导学生对注意概念的形成，巩固、深化和发展过程。

①念的形成。注意被开方数是非负数的条件，使知识完备“不缺腿”，避免如下的常见错误；

问：a为何值时，等式：=成立？

答：当a+1>0时，即a>-1时等号成立，这里就失去了a=-1等式成立的可能性。

②概念的巩固 学生对方根和算术根常常含糊不清，宜指导学生在学习中，通过比较法，由具体到抽象，明确方根与算术根之间的联系与区别，例如指出：6的二次方根为±，6的二次算术根为；a的二次方根为±，a的二次算术根为；进而，a的n次（n为偶数）方根为±，a的n次算术根为；对于奇次方根，被开方数是负数时则必须先把负号提出根号外，即应用法则=-（A>0）。把它转化为算术根的相反数，这样根式的所有运算都能转化为算术根的运算了。

③概念的深化 宜通过运算的教学来加强，根式运算中经常遇到被开方数是字母的根式对它们应根据算术根的概念进行讨论，然后实施运算求出结果。

④概念的发展 算术根的概念常常通过多种形式出现，其中被开方数是完全平方或多项式等情况，难度加大。宜用绝对值表示，以分化难点，防止错误，在这个阶段可以考虑补充如下类型的练习

（1）- （m>n）

（2）；

（3），（x=3）

（4）

（5）（a-b）

四、训練与提高

下面给出两组题，利于在教与学中从巩固概念到熟练运用。

第一组

1.填空：

（1）= ；（2）= ；（3）若=-1，则a-b 0

2.指出下列等式成立的条件：

（1）·=；

（2）=；

（3）=；

3.化简：（a-1）；

4.数a、b、c在数轴上的位置从左到右顺次是b、a、o（即原点）、c 则-|a+b|++|b+c|=？

5.若x>0，化简：-

第二组

1.若+=0，求a b的值。

2.化简+

3.已知：，求x2-2x2+x-3的值。

4.已知：，求x2-x+1的值；

5.已知：a2+b2-4a-2b+5=0，求的值；