基于独立分量分析下的跳频网台分选∗

杨芸丞 孙雪丽 朱念斌

（1.海军航空大学 烟台 264001）（2.61923部队 北京 102446）

1 引言

现代信息化战争中，跳频通信由于其截获概率低、组网方式灵活、信道衰减缓慢等优点，在军事通信、指挥、控制和情报系统均得到了广泛应用［1］。然而对于信号监听一方而言，如何在不具备一切先验条件的情况下，从混合信号中将多个跳频电台的信号分选出来，仍然是跳频通信侦察中具有挑战性的问题［2］。

传统的跳频网台分选方法多依据信号的特征参数进行电台分选。文献［3］利用时域频域综合处理和高精度参数估计进行分选；文献［4～6］通过对跳频信号的跳周期、跳时、来波方位、功率等参数的准确估计聚类分选；文献［7］通过对跳频信号特征参数的估计搭建了稀疏贝叶斯模型进行网台分选。但在战场环境中，这些网台特征往往不能做到实时准确的获取，也就导致了这些算法的局限性。

本文将快速独立分量算法［8］应用到跳频网台的分选中，在未知网台特征参数的前提条件下，建立一个负熵最大化的目标函数，通过定点迭代［9］的固定点算法，以负熵最大［10］作为一个搜寻方向，顺序地提取了独立源，完成了对混叠跳频信号的分离，从而实现了对跳频网台的盲分选。与传统算法相比，该算法无需先验了解跳频信号的特征参数，算法简单，实时性好。在较低的信噪比条件下，分选效果仍比较理想。

2 数学模型

2.1 跳频信号模型

跳频信号的数学模型可以定义为［11］

其中Tc为跳变周期，fk为第k次跳变频率，φk为对应的初始相位，A为跳频信号的幅值，gTc(t)是高为1，宽为Tc的闸门函数。

根据上面的数学模型，令 A=1，φk=0，采样频率为1kHz，跳周期为40ms，观测时间为320ms，假设k取8，也就是共有8个跳频频率。令跳频频率集归一 化 ，fk=[0.10，0.45，0.30，0.05，0.20，0.40，0.25，0.15]，单位为 kHz，在时域得到 320个样本值。仿真得到该跳频信号的时域信号如下：

2.2 独立分量分析模型

独立分量分析模型包括含噪线性模型和无噪线性模型［12］，本文主要使用含噪声线性模型。观测信号为含噪声的源信号的瞬时线性组合，则待处理的观测信号可表示为

其中s(t)为n维统计上相互独立的源信号矢量，s(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sn(t)]T，x(t)为m（n≤m）维的观测信号矢量，x(t)=[x1(t)，x2(t)，…，xm(t)]T，n(t)为m维的噪声矢量，A为m×n维随机矩阵。为了保证ICA是可解的，需对该模型有下列的限制：

1）源信号要具有统计独立性。这项假设是ICA可以应用于各个不同领域的原因。用 p(s)表示源信号矢量s(t)的联合概率密度，用p1(s1)，p2(s2)，p3(s3)，…pn(sn)表示各个源信号的边缘概率密度，则源信号的统计独立性可以概括为

2）所观测矢量是非高斯分布的。若观测矢量为高斯分布，其高阶统计量为零，就无法估计ICA模型。

3）源信号数目要少于或等于观测信号数目。当源信号数目少于观测信号数目时，可先利用主分量分析（PCA）降低数据维数，再进行独立分量分析。

在满足上述三个条件的情况下，ICA的目的就是寻找一个解混矩阵W ，使得

式（5）中，y(t)是s(t)的估计矢量，当解混矩阵W 是A的逆矩阵时，即WA=I，在未加噪声的前提下，由观测信号x(t)恢复成统计独立的源信号s(t)。

ICA模型的求解，本质上是一类最优化求解问题，关键在于建立目标函数和找到合适的寻优算法。首先，基于信息论或者统计理论，以各独立分量的非高斯性程度作为优化判据，以解混矩阵W为自变量建立一个目标函数，找到该目标函数的极大或者极小值，即为最接近真实解的最优解W ；其次，寻找某种有效的优化目标函数的优化算法以求解W ，常见的优化目标函数的优化算法包括：基于特征矩阵的联合近似对角化法（JADE法）梯度法、成对数据旋转法、基于负熵的固定点算法等。本文采用基于负熵最大化的固定点算法对跳频信号网台进行盲分选。

3 算法原理

算法思想：首先对跳频信号的数据进行预处理，然后基于负熵最大的优化判据建立目标函数，最后采用固定点算法迭代寻优，求解混矩阵W ，从而实现跳频网台的盲分选。下面详细说明算法原理。

3.1 数据的预处理

在对观测信号进行盲源分解［13］前，通常都需要进行一些预处理，包括中心化和白化两部分内容。在本文中，假设各个观察源是均值为零的随机变量，为了能符合这一数学模型，必须预先去除信号的均值。设x为均值不为零的随机向量，只需用x0=x-E(x)代替 x即可，对中心化的信号经过ICA分析得到解混矩阵W后，最后再在源信号的估计值上加上均值。另一方面，为了去除各观测信号之间的相关性，简化后续分量的提取过程，对去均值后的观测信号进行白化处理。对观测信号x(t)，我们应该寻找一个线性变换，使x(t)投影到新的子空间后变成白化向量z(t)，即：

其中，W0为白化矩阵，z为白化向量。利用PCA分析，我们通过计算样本向量可以得到：

其中U和Λ分别代表协方差矩阵Cx的特征向量矩阵和特征值矩阵。可以证明，线性变换W0满足白化变换的要求，使E[zzT]=I。白化使原来所求的解混合矩阵A退化成一个正交阵，这种预处理方法使自由度从N2降为N×( )N-1/2，且算法收敛性更好。

3.2 负熵最大的优化判据（目标函数）

设随机变量 y的概率密度为 p(y)，则其微分熵：

由微分熵引出负熵：

根据信息理论，在具有相同方差的随机变量中，高斯分布的随机变量具有最大的微分熵。y的非高斯性越强，其微分熵越小，J()y值越大，所以J()

y可以检验随机变量y的非高斯性，进而衡量各独立分量的分离程度。采用负熵需要知道y的概率密度分布函数，这很困难，因此我们采用一个经典的近似公式：

其中，E[·]为均值运算；G(·)为非线性函数，可取，G2(y)=-exp(- y2/2 )或等非线性函数，a通常取1。

3.3 固定点算法

为找到一个独立分量或者投影追踪的方向，在WTx的方差约束为1的条件下，令WTx具有最大的非高斯性，负熵最大化目标函数如下：

根据Kuhn-Tucker条件，E{g (WTx ) }的最优值能在满足下式的点上获得：

则称算法A满足ε-差分隐私.其中，Pr[.]表示隐私被披露的概率，它是由算法A的随机性所控制(与攻击者的背景知识无关)；ε是隐私保护参数，表示隐私保护的力度，ε越小意味着隐私保护力度越强.定义3本质上刻画了基于随机算法A输出的两个相邻矩阵的不可分程度.

其中，β 是一个恒定值，g(·)是G(·)的导数，β=E{xg(W0Tx ) }，W0是优化后的W 值。利用牛顿迭代法解方程。用F表示式上式左边的函数，可得F的雅可比矩阵JF(W )如下：

由于数据被白化，E{x xTg'(WTx ) }≈E{x xT}·E{g'(WTx)}=E{g'(WTx)}I。因而雅可比矩阵变成了对角阵，得到下面的近似牛顿迭代公式：

其中，W*是W 的新值，β=E{WTg(WTx ) }，归一化能提高解的稳定性。简化后得到FastICA算法的迭代公式：

4 算法流程

按照上文FastICA算法原理，对观测到的混叠跳频信号进行盲分选，具体的算法流程如下：

步骤1：对观测信号x进行中心化，使它的均值为0；再对中心化的数据白化处理得到z(t)。

步骤2：随机选择一个具有单位范数的初始权矢量Wp。

步骤3：设迭代次数 p初始值为1，设需要估计的分量个数为n。

步骤4：令Wp=E{z g (z) } -E{g ' (WpTz)} Wp，取g(y)=G'(y)=tanh(ay)。

步骤5：对Wp正交化

步骤6：对Wp归一化：令Wp=Wp/‖‖Wp。

步骤7：若Wp收敛，加上均值得到源信号；Wp不收敛，返回步骤四。

步骤8：令 p=p+1，如果 p≤n，返回步骤3，进行下一个独立分量的估计。

通过上述实现步骤，可以根据观测信号估计出源信号。

5 仿真实验

5.1 无噪声条件下网台分选实验

针对上述算法，对混叠跳频信号进行网台分选实验。依据前文数学模型，信号源由三组不同频率集的同步正交跳频网台产生。三组跳频信号跳频速率同为250hop/s，采样率同为1kHz，抽取前320个点作为实验样本。

三组归一化跳频频率集分别为

随机混合矩阵为

仿真后，得到图2所示的源信号图，图3所示的观测信号图。通过固定点算法对图三中的观测信号进行处理，得到解混矩阵：

在未加噪声的前提下，分离信号如图4。由图4可知，未加噪声时，ICA对跳频信号分选效果非常好。美中不足的是，分离信号的次序较源信号发生了变化；分离信号的幅度和相位也发生了变化。但这并不影响跳频信号主要参数的获取。三个跳频网台中源信号与分离信号的的相关系数分别为0.9966，0.9970，0.9968。结合四阶累积量和所取的初始跳频源信号，可以得出结论：ICA进行跳频网台分选，初始跳频源信号的非高斯性越强，分离效果越好；反之，分离效果越差。

5.2 带噪声条件下网台分选实验

实际战场上，电磁环境十分复杂，故必须要考虑噪声干扰。原条件不变，对原仿真加以高斯白噪声影响，做出仿真分析，仿真结果如图5所示。在不同信噪比下，用FastICA算法和非线性PCA算法蒙特卡洛实验500次后，源信号与分离信号相关系数的性能分析（取三组信号相关系数中的最小值）如图6所示。

通过仿真实验可以看出，对源信号的分离效果来看，FastICA算法明显优于非线性PCA算法。当观测信号的信噪比低于-3dB时，FastICA算法分选效果显著下降，当信噪比高于-3dB时，FastICA算法可以较好地分选出不同跳频电台的跳频信号。

其次是FastICA算法与非线性PCA算法运算量的比较，设定实验次数分别为：50、100、500，将分别记录传FastICA算法与非线性PCA算法完成分选所需要的时间，记录的时间如表1所示。

从表1中可以看出，非线性PCA算法完成网台分选所需要的时间要多于FastICA算法所需要的时间，特别是当实验次数增加后，传统算法与新算法所耗费的时间差距更加明显。

表1 -3dB时两算法分选时间对照

综合以上两个方面，可以得出结论：在跳频混叠信号分选中，FastICA算法分选效果明显优于非线性PCA算法。

6 结语

本文通过建立数学模型仿真出跳频信号，详细推导和阐述了基于负熵最大的优化判据和固定点算法，仿真实验证明了该算法的有效性，在较低的信噪比条件下，在-3dB的信噪比条件下，分离速度较非线性PCA算法提升45%左右，分选准确度达到95%以上。在以后的工作中，一方面，将对ICA算法的目标函数和寻优算法做出改进，提高分选结果的准确度和收敛性；另一方面，将结合ICA降维的方法，对欠定条件下的跳频网台进行盲分选。

［1］Lin C H，Fang W H.Joint angle and delay estimation in frequency hopping system［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2013， 49（2）：1042-1056.

［2］张东伟，郭英，齐子森，等.采用空间极化时频分布的跳频信号多参数联合估计算法［J］.西安交通大学学报，2015，49（8）：17-23.

［3］陈美良，肖扬灿，朱佳伟，等.一种基于高精度参数估计的跳频网台分选方法［J］. 通信对抗，2017，36（2）：7-11.

［4］王斌，陈秋华，王翠柏.基于聚类的跳频信号分选［J］.北京邮电大学学报，2009，32（2）：80-84.

［5］齐昶，王斌，丁海军.基于KHM聚类算法的跳频信号分选［J］.声学技术，2011，30（6）：547-551.

［6］顾晨辉，王伦文.一种正交跳频信号动态分选方法［J］. 宇航学报，2012，33（11）：1699-1755.

［7］郭海召，张顺生.稀疏贝叶斯模型在跳频电台中的应用［J］. 信号处理，2016，32（6）：733-738.

［8］Hyvärinen A，Hurri J，Hoyer P O.Independent compo⁃nent analysis［M］//Natural Image Statistics.Springer Lon⁃don，2009：151-175.

［9］苏岐芳.五阶收敛的牛顿迭代改进法［J］.河南师范大学学报（自然科学版），2009，37（4）：22-24.

［10］Sha Zhichao，Huang zhitao，Zhou Yiyu，et al.Frequen⁃cy-hopping signals sorting based on underdetermined blind source separation［J］.IET Communication，2013，7（14）：1456-1464.

［11］梅文化，王淑波，邱永红，等.跳频通信［M］.北京：国防工业出版社，2005：195-205.

［12］Kerschen G，Poncelet F，Golinval J C.Physical interpre⁃tation of independent component analysis in structural dy⁃namics［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21（4）：1561-1575.

［13］翟海莹，杨小牛，王文勇.基于盲源分离的跳频网台分选［J］.中国电子科学研究院学报，2008，4：398-402.