黑体辐射中的波粒二象性

摘要：在爱因斯坦关于光的波粒二象性的基础上，德布罗意提出实物粒子也具有波粒二象性，至此，波粒二象性成为了量子理论中最基础的内容。而实际上，若仔细考察维恩和瑞利关于黑体辐射的研究，就可发现其实在黑体辐射的问题上就已经有波粒二象性的性质。

关键词：波粒二象性；黑体辐射；维恩公式；瑞利金斯公式

1 波粒二象性

当光照射在金属表面时，电子从金属中脱出的现象叫做光电效应.而根据光的波动理论，光电效应的实验规律和理论得出的结果并不相符.为了解决光的波动理论和实验规律之间的矛盾，爱因斯坦于1905年提出了光量子假设：当光和物质相互作用时，其能量并不像波动理论那样是连续分布的，而是集中在一些叫做光子的粒子上，这种粒子仍保持着频率的概念，光子的能量ε与频率v的关系为[1]

ε=hv，

式中h为普朗克常量。

在光的波粒二象性的启发下，德布罗意于1924年提出所有的实物粒子都具有波动性，把爱因斯坦关于光的“波粒二象性”推广到所有的物质，并提出：任何的实物粒子都与一列波相联系，粒子的能量ε、动量p与波的频率v、波数k的关系由下列的式子决定

v=ε[]h，

k=p[]，

等式的左边对应的波的性质：电磁波的频率和波数，而右边对应的实物粒子的性质：粒子的能量和动量，等式将波和实物粒子联系在一起.德布罗意关系式的正确性在三年后被实验所证实，微观物质的波粒二象性开始被人们所重视，而其实在这之前的黑体辐射问题中也可以得到微观物质的“波粒二象性”。

2 黑體辐射问题

任何物体都会不断地辐射、吸收反射电磁波，辐射出去的电磁波在各个波段具有一定的谱分布，谱分布和物体本身的属性及温度有关，因此被称为热辐射。为了研究不依赖于物体本身属性的热辐射规律，一种理想的物体——绝对黑体被作为研究热辐射的标准物体。绝对黑体定义为在任何条件下，对任意波长的外来辐射完全吸收而没有任何反射的物体。事实上绝对黑体是不存在的，可以用一个开一个小孔的黑箱子作为绝对黑体的模型。实验测得各种温度下的热辐射标准能谱uT（λ，T）如下图所示。

黑体辐射谱图[2]

在通过实验测得黑体辐射谱之后，为了得到其函数表达式，维恩和瑞利分别做了不同的工作并得到了不同的经验公式，揭示当时经典物理的矛盾和缺陷。

维恩的粒子模型：维恩认为黑体中存在着气体分子，气体分子中带电粒子热运动会辐射电磁波，气体分子速率分布服从麦克斯韦速率分布，完全从粒子角度出发得到黑体辐射谱公式[3]

uT（v）=αv3[]c2e-βv/T，（1）

其中，α，β为常量，此公式被称为维恩公式。维恩公式在高频段与实验结果符合得很好，但是在低频段与实验结果偏差较大。

瑞利金斯的波模型：瑞利从能量按自由度均分定律出发，根据经典统计理论，研究空腔中电磁场，完全从波的角度出发得到了空腔辐射的单色能量密度公式。后来经过金斯的修正，得到了下面的瑞利金斯公式 [4]

uT（v）=8π[]c3v2kBT，（2）

其中kB=138×10-23J/K为波尔兹曼常量。瑞利金斯公式在低频段与实验结果符合得很好，而随着频率的增大，理论值和实验结果的偏差越来越大，当v→∞时，会得到能量趋于∞的结论，这就是史上著名的“紫外灾难”。

1900年十月，普朗克将适用于短波的维恩公式和适用于长波的瑞利金斯公式通过插值法结合起来，得到了理想空腔的黑体辐射经验公式，并在两个月后，在基于能量子假设的基础上完全从理论上推导出黑体辐射公式[5]

uT（v）=8πh[]c3 v3[]ehv/kBT-1.

普朗克黑体辐射公式理论值和实验结论完全吻合，这说明普朗克将维恩公式和瑞利金斯公式用插值法结合起来的方法是有效的，这从侧面上验证了维恩的粒子模型和瑞利金斯的波模型的部分正确性。

3 黑体辐射中的波粒二象性

从普朗克黑体辐射公式可以看出，对于短波，即hvkBT，有ehv/kBT1，普朗克公式过渡为维恩公式

uT（v）=αv3[]c2e-βv/T，

此时，维恩的粒子模型正确了一半，粒子性较为明显而波动性较弱。而对于长波hvKBT，有ehv/kBT≈1+hv/kBT（当x→0时，有ex-1≈x），[6]普朗克公式蜕化为瑞利金斯公式

uT（v）=8πc3v2kBT，

此时，瑞利的波模型正确了一半，粒子的波动性较强而粒子性较弱。

而把维恩的粒子模型和瑞利金斯的波模型结合起来，就可以得到普朗克公式，在普朗克公式完全正确的情况下，黑体中的物质既不是粒子，也不是波，这就是黑体辐射中“波粒二象性”。所以说，在黑体辐射问题中，普朗克公式已经包含“波粒二象性”。普朗克黑体辐射公式本质上就是短波时的粒子性和长波时的波动性的结合。

参考文献：

[1]蒋长荣，刘树勇.爱因斯坦和光电效应[J].首都师范大学学报（自然科学版），2005（04）：3237.

[2]赵凯华，罗蔚茵.量子物理[M].第二版.北京：高等教育出版社，2008：9.

[3]杨福家.原子物理学[M].第四版.北京：高等教育出版社，2008：3132.

[4]宋世榕.瑞利金斯公式的产生经过和爱因斯坦的有关贡献[J].工科物理，1993（02）：4647.

[5]Planck M.On an Improvement of Wiens Equation for the Spectrum[M].The Old Quantum Theory.1967：7981.

[6]同济大学数学教研室主编.高等数学（下）[M].北京：高等教育出版社，2002：268.

作者简介：李东亮（1997），男，汉族，广东茂名人。