心中有“数”不得意忘“形”

吴柳玉

数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法称之为数形结合的思想方法。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种思想方法，包含“以形助数”和“以数解形”两个方面。一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，在高中数学的学习中，不仅要掌握学科有关知识，更重要的是能力的培养和提高。近几年高考，往往通过图形、图表的识别、判断、分析，来考查学生的分析问题和解决问题能力。而在解题过程中，如能适时、巧妙地应用数形结合的思想方法，则可起到事半功倍的效果。笔者归纳了高中数学习题中渗透数形结合思想的常见题型，并对其进行了简要解析。比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质。二是借助于數的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。”寥寥数语把数形结合说得淋漓尽致。数形结合是数学解题中常用的一种数学思想方法，可以使抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题中的本质。数学教学不仅是数学知识的教学，更重要的是数学思想方法的教学，教学中教师应注重对学生的观察、操作、分析思维能力的培养，更应不断地渗透数学思想方法，将此作为教学的核心，为学生的后继学习打下坚实的基础，使学生终身受益。

一、数形结合在解析几何中的应用

中学数学的基本知识分为三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。在高中数学解析几何这一模块中，处理问题的常见方法有代数法和几何法。代数法是从“数”的角度解决问题，几何法从“形”的角度解决问题，这两种方法相辅相成，相得益彰。现举例如下：

例题：若直线y=x+k与曲线x=■恰有一个公共点，求实数k的取值范围。

解：（数形结合法）曲线x=■是单位圆x2+y2=1的右半圆（x≥0），k是直线y=x+k在y轴上的截距。

在同一坐标系中画出两曲线图象如图所示，可知：直线与曲线相切时，k=-■，由图形可得k=-■或-1

利用数形结合的思想方法，能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它在数学解题中具有极为独特的指导作用。

以数论形是解析几何侧重的手法，其思考方法就是几何条件解析化，即几何条件（形）——等量关系（数）——代数方程（式），它是求曲线方程的关键和困难之处。

笔者总结出转换数与形的三条途径：

1.通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。

2.转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。

3.构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。

二、数形结合在求解值域或最值问题中的应用

“数形结合”是求解数学问题的一种常用的思维方法。教师在教学中经常引导学生创设“数形结合”的情境，不仅可以沟通数与形的内在联系，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述有机地结合起来，力图在这种结合中寻找到解题的思想与方法，同时又有利于开拓学生解题思路，发展学生的形象思维能力。

总之，数形结合的思想方法应用广泛，从以上的例子中可以发现，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越。由于“数形结合”具有形象直观、易于接受等优点，且对于沟通知识间的联系，活跃课堂气氛，开阔学生思路，发展智能，提高数学水平有着独到的作用，作为一线的教师，我们要积极挖掘教材中“数形结合”的例题与习题，注重引导学生动脑筋，设计确切的数学模型，创设“数形结合”的情境，多加强学生形象思维的训练，进而促进学生从形象思维到抽象思维的转化，引导学生争取做到心中有“数”，脑中有“形”，以开拓他们的思维视野。这样，我们就一定能逐步提高学生的数学水平，把学生逐步培养成具有创造思维能力和开拓精神的创造型人才。

（作者单位：广西柳州市钢一中学）