浅谈高中数学中的导数

焦淑宁

摘 要：随着新课改的深入，高考对导数的考查逐渐加强，而三次函数问题是中学教材研究导数的重要载体，所以三次函数成为命题中的新亮点。由于三次函数的导数为二次函数，因此，以三次函数为载体，背景新颖独特，利用导数解决的问题在考试中屡见不鲜。下面通过对考题进行分析，以提高学生对三次函数的导数问题的认识。

关键词：数学；三次函数；导数

一、三次函数的单调性问题

例1.已知函数f（x）=4x3+3tx2-6tx+t-1，其中t∈R。

（1）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）当t≠0时，求f（x）的单调区间。

解析：第一问考查导数的几何意义，解决关键是求出切线的斜率；第二问通过三次函数求导后得到二次函数，由于二次函数对应的方程根含字母，需要对两个根进行讨论。

（1）当t=1时，f（x）=4x3+3x2-6x，f（0）=0，f′（x）=12x2+6x-6，f′（0）=-6。所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-6x。

（2）f′（x）=12x2+6tx-6t2，令f′（x）=0，解得x=-t或x=■，因为t≠0，以下分两种情况讨论：

①若t<0，f′（x）<0的解集是■-t；

所以，f（x）的单调递增区间是-∞，■，（-t，+∞）；

f（x）的单调递减区间是■，-t。

②若t>0，f′（x）>0的解集为（-∞，-t）∪■，+∞；

所以，f（x）的單调递增区间是（-∞，-t），■，+∞；

f（x）的单调递减区间是-t，■。

点评：本题是直接考查导数的应用，需要对根进行讨论，增加了问题的难度，此外利用导数判断函数单调性及函数区间应注意：在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间。

二、三次函数的最值问题

例2.设f（x）=-■x3+■x2+2ax

（1）若f（x）在■，+∞上存在单调递增区间，求a的取值范围；

（2）当0

解析：若对于三次函数f（x）在区间[a，b]存在单调递增区间，则只需f（x）的导函数在区间[a，b]上的最大值大于0即可。第二问显然考查导数的逆向应用，根据最小值利用待定系数法求得参数a，再求最大值。

（1）由f′（x）=-x2+x+2a=-x-■2+■+2a

当x∈■，+∞时，f′（x）的最大值为f′■=■+2a；

令■+2a>0，得a>-■，所以，当a>-■时，f（x）在■，+∞上存在单调递增区间。

（2）令f′（x）=0，得两根x1=■，x2=■。

所以f（x）在（-∞，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增。

当0

又f（4）-f（1）=-■+6a<0，即f（4）

所以f（x）在[1，4]上的最小值f（4）=8a-■=-■

得a=1，x2=2，从而f（x）在[1，4]上的最大值为f（2）=■。

点评：通过已知函数的最值确定参数的值或取值范围，是导数的逆向应用，也是导数应用的一大亮点，充分展现了导数应用的活力。最值一般在极值点或端点处取，利用这一特征可以快速解决最值问题。

三、三次函数的极值问题

例3 已知函数f（x）=x3+3ax2+（3-6a）x-12a-4{a∈R}

（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点

（2，2）；

（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围。

解析：利用可导函数求函数极值的基本方法：设函数y=f（x）在点x0处连续不断且f′（x）=0，若在点x0附近左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，则f（x0）为函数的极大值；若在点x0附近左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，则f（x0）为函数的极小值。

【解析】（Ⅰ）f′（x）=3x2+6ax+（3-6a），f′（0）=3-6a，又f（0）=12a-4

曲线y=f（x）在x=0的切线方程是：y-（12a-4）=（3-6a）x，在上式中令x=2，得y=2，所以曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）；

（Ⅱ）由f′（x）=0得x2+2ax+1-2a=0。

（i）当-■-1≤a≤■-1时，f（x）没有极小值；

（ii）当a>■-1或a<-■-1时，由f′（x）=0得

x1=-a-■，x2=-a+■，

故x0=x2。由题设知1<-a+■<3。

当a>■-1时，不等式1<-a+■<3无解。

当a<-■-1时，解不等式1<-a+■<3得-■

综合（i）（ii）得a的取值范围是-■，-■-1。

点评：解决本题的关键是求出导函数利用判别式确定参数a在哪个范围存在极值，具体确定极小值点，再转化为关于a的不等式求解。

（作者单位：河南省洛阳市第一高级中学）