色散实验数据处理方法对比研究

许建国，蔡建春，吉 鑫

（昆明学院物理科学与技术系，昆明 650214）

数据测量和数据处理是光学设计性实验过程中非常重要的两个内容，二者缺一不可，不可偏废。数据测量是基础，没有数据测量，数据处理就成了无源之水、无本之木；只有数据测量，不做数据处理，实验本身就失去了意义。选择正确的数据处理方法，提高处理实验数据的效率和获得实验数据的期望值，是所有数据处理者共同的使命及愿望。本文用超定方程组最小二乘解〔1〕方法和Origin 8.0软件处理光色散的实验数据，以测量的钠光折射率作为定标，检验两种方法处理数据的可行性，并对两种方法进行对比研究。

1 柯西色散规律

色散是物质的折射率随入射光波长的变化而不同的现象〔2〕。折射率和波长之间的关系称为色散关系。在正常色散区，柯西（A.L.Gauchy，1836）根据实验得到了一个经验公式〔3〕：

其中a、b、c为常数，与材料的性质有关，由实验测定。

实验原理和数据处理：根据最小偏向角法测量三棱镜折射率的方法，用下式计算三棱镜的折射率〔4〕：

其中α为三棱镜的顶角，δmin为最小偏向角。实验中，以低压汞灯为光源，用一台分光计、一块三棱镜，分别测量汞灯谱线中几条已知波长对应的折射率。汞灯谱线不同波长对应的最小偏向角及折射率见表1。用自准直法测得三棱镜顶角α=59°53′。

2 柯西经验公式系数的确定

2.1 解超定方程求系数 将汞光灯波长及其对应的折射率代入式（1）得下面方程组：

表1 各波长对应的最小偏向角和折射率

从式（3）可知，这是6个方程求3个未知数，是一超定方程组。利用矩阵乘法分解方程组（3）得下面表达式：

对于方程组（3），R是一个6×3的矩阵，rank(R)=3，R是一个列满秩矩阵，且6＞3，方程组（3）没有精确解。对实验数据处理和曲线拟合时，在无法完全满足给定的条件下，对方程组（3）求一个最接近的解，使其解的残差最小。因为rank(R)=3＜6，满足超定方程组最小二乘解的存在和唯一性定理3〔5〕的条件，超定方程组（3）存在唯一最小二乘解，其解为X=(RTR)-1(RTB)。所以计算RTRX=RTB的最小二乘解，得X矩阵的各个系数值分别为a1=1.627 605、b1=7.405 903×103和c1=3.649 776×108。于是本实验中，柯西经验公式用常数表示为：

将钠光波长λNa=589.3 nm代入式（5），算出钠光对该三棱镜的折射率nNa=1.651 957，与表1钠光的实测折射率n*Na=1.651 905，在误差允许范围内二者的数值吻合得很好。

2.2 非线性最小二乘法拟合求系数 利用Origin软件对测量数据进行非线性最小二乘法拟合，经整理后得如图1所示的结果。

在误差允许范围内，图1中a2=1.627 6，b2=7.408 18×103，c2=3.647 45×108，与超定方程组的解a1、b1和c1吻合得很好。从色散关系曲线图像可以看出，随着波长增加折射率减小，波长减小折射率增大，这种色散称为正常色散。

2.3 色散关系曲线的应用 应用色散关系曲线可以做的工作概括起来有3个方面，第一，如果测出色光对物质的折射率，由式（5）可计算该色光的波长，从而计算普朗克常数〔6〕的数值；第二，由该物质的色散关系曲线，可以推知制作该物质的材料〔7〕；第三，由色散关系曲线可以估计未知波长的折射率，见图2。

图1 非线性最小二乘法拟合测量数据

图2 Data Reader读取数据

利用Origin界面的Data Reader在色散关系曲线上读取数据点，可得不同波长（或折射率）的折射率（或波长）。按住计算机键盘上的“→”或“←”键，屏幕上“＋”光标沿曲线移动，图2表中X和Y的数值即为该点的波长和对应的折射率。图例“●”为钠光的波长和其折射率数值，折射率拟合数值为1.651 957，与实验测量值吻合得很好。

综上，由数据处理结果可知，用超定方程组最小二乘解方法和Origin软件处理色散实验的数据是可行的。方法一主要围绕如何求解方程个数多于未知数个数的问题，按照求解未知数方程的一般方法得不到方程组的精确解，而最小二乘法解可以得到符合要求的解，用矩阵乘除法即可完成，方法简单易学，不过作图与插值计算未知波长的折射率比较麻烦。方法二用Origin软件的非线性最小二乘法拟合数据并作图，计算与作图完全由计算机完成，过程简洁高效，对未知波长的折射率的估值一目了然，但实验数据的处理原理和过程不是很直观明了，对于初学者理解和掌握起来有一定的难度。Origin软件处理实验数据必须假以时日、反复练习方能做到应用自如。我们认为，将两种处理数据的方法教给学生，让学生既知其然又知其所以然，不仅使学生学会了处理数据的不同方法，而且也符合因材施教、因人施教的教育教学原则。

〔1〕杨立本.超定方程组最小二乘解行处理方法〔J〕.云南师范大学学报（自然科学版），1997，17（1）：1-4.

〔2〕钟锡华.现代光学基础〔M〕.北京：北京大学出版社，2003：440-441.

〔3〕赵凯华.新概念物理教程：光学〔M〕.北京：高等教育出版社，2004：334-345.

〔4〕杨述武，赵立竹，沈国土.普通物理实验3：光学部分〔M〕.北京：高等教育出版社，2007：33-35.

〔5〕百度百科.超定方程组〔EB∕OL〕.〔2017-06-20〕.https：∕∕baike.baidu.com∕item∕%E8%B6%85%E5%AE%9A%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84∕4663111?fr=aladdin.

〔6〕刘绒侠.利用色散法探索玻尔氢原子理论测量普朗克常数〔J〕.大学物理实验，2008，21（3）：4-7.

〔7〕朱简约，陈乾.基于分光计实验的光谱分析及柯西色散公式研究〔J〕.大学物理实验，2016，29（2）：41-43.