2017年浙江省数学高考压轴试题命题手法再探究*

●

(泉州实验中学圣湖校区,福建 泉州 362000)

笔者从命题角度对2017年浙江省数学高考压轴试题进行了分析，追根溯源，发现本题源自数列不动点的解题思想，将数列、函数、不等式等知识进行交汇，并从中提炼、设置问题[1].下面笔者展示对该题命题方法的思考过程，并根据此命题方法命制了两道相关新题，这对于高三复习是有启发意义的.

1 试题展示

题目已知数列{xn}满足x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中n∈N*),证明：当n∈N*时,

1) 0

(2017年浙江省数学高考试题第22题)

2 命题方法探究

本题的题源当从一类递推数列说起.

即

从而

又x1=1，故

从而

为增强题目的综合性，体现试题的区分度，有效考查学生分析问题、解决问题的能力，命题者引入了函数、不等式等知识进行交汇.因此，需要选择恰当的函数模型，使得xn=f(xn+1)，且满足递推数列的不等式关系，即

从而可确定函数

f(x)=ln(x+1)+x，

即

xn=xn+1+ln(1+xn+1)，x1=1.

不等式通过适当变形即为文首高考试题第2)小题的设置.

图1 图2

2x>ln(x+1)+x，

即

xn=xn+1+ln(1+xn+1)<2xn+1，

从而

亦即

相乘得

为了能够更全面地考查证明不等式的方法，并使部分中等生得到相应分，有效体现区分度，因此设置了第1)小题.

经过上述步骤，便完成了2017年浙江省数学高考压轴题的命制.

3 命制新题

经历了上述试题的探究过程，我们掌握了试题的一种命题方法[2].应用同样的方法，笔者命制了两道试题，供读者赏析.

1) 1

2) 2an+1an<3an-an+1；

g(x)≥g(1)=1.

若存在n0∈N*，且n0≥2，使得an0=1，则

由g(x)的单调性可知an0-1=1，即

an0=an0-1=…=a1=1，

与已知a1=2矛盾，故对任意n∈N*，an≠1，从而an>1.又

从而f(x)在(0,+∞)上单调递减，由f(1)=0及an>1，得f(an)<0，即an+1-an<0.

综上可得1

再令F(x)=4x3-3x2-3x-1，其中1

F′(x)=3(4x2-2x-1).

因为F′(x)在(1,2]上单调递增，所以

F′(x)≥F′(1)=3，

从而F(x)在(1,2]上单调递增.又

F(1)=-3<0，F(2)=13>0，

由1

h(an)<0，

即

即

2an+1an<3an-an+1.

3)由第2)小题得

变形得

即

1) 0

2) 2an-4an+1≤anan+1≤2(an-an+1)；

证明1)(数学归纳法)当n=1时，a1=1>0.

假设当n=k时，原不等式成立，即ak>0.

若ak+1≤0，则

ln(1+an+1)≤0，

an+1(1+an+1)+ln(1+an+1)≤0，

与假设矛盾，故ak+1>0，于是当n∈N*时，an>0，因此

即

an>an+1.

综上可得0

当0

从而

于是

变形得

anan+1≥2an-4an+1.

又

得

从而

anan+1<2(an-an+1).

综上可得2an-4an+1≤anan+1≤2(an-an+1).

3)由第2)小题得

由不等式的右端可得

从而

由不等式的左端可得

即

从而

即

参 考 文 献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社,2003.

[2] 杨苍洲.2015年高考湖北文科卷压轴试题的命题手法探究[J].中学生理科应试，2017(4)：2-3.