多设备租赁条件下基于服务质量评估的预防性维修策略优化

张云正，曾建潮，张晓红，薛颂东

(1.太原科技大学 工业与系统工程研究所,山西 太原 030024;2.中北大学 大数据与视觉计算研究所，山西 太原 030051)

0 引言

建筑施工机械设备日渐复杂导致购置费用高昂，对维护专业化水平提出了更高的要求，施工单位转而寻求设备承租，由租赁商负责设备的维修维护。维修方式分为故障后维修和预防性维修两类[1]。故障后维修多为小修，即将故障设备恢复到工作状态而不改变故障率。若小修时间超过租赁商与施工单位(客户)的协议约定，则应按照所超时间收取租赁商罚金，以弥补客户停工期间造成的损失。因此，租赁商采用开销较小的预防维修降低故障率，以避免故障引起的高昂费用。频繁预防维修虽可有效减少故障次数，但会导致总的维修费用过高，故需权衡故障与维修成本，给出最优预防维修策略。已有的租赁设备预防维修优化研究多针对单设备系统，研究其周期性[2-6]和顺序性[1,7]维修策略、完美维修和非完美维修[8-10]效果，其中多以役龄的回退[4-5,10-15]和故障率的回退[1,7,16]进行维修效果建模。相应地，以租赁商维修开销最小[1-5,7-11,16]或利润最大[6,12-14]为目标的预防维修优化研究，同样多针对单设备系统展开，较少关注多设备维修问题。现有的多设备租赁维修优化研究被视为单设备租赁维修优化的简单叠加，即将客户数量看作与维修服务质量无关的常量，多设备租赁维修仅是单设备租赁维修乘以该常量。多设备租赁维修需要考虑如何提供满意的服务来吸引更多的客户，从而租出更多设备，即客户数量应为受维修服务影响的变量。对于最小化开销的单设备租赁预防维修，Yeh等[1]、Pongpech等[2]、Zhou等[5]、李林等[7]、Jaturonnatee等[8]、金琳等[11]分别建立了各自的维修开销模型，这些模型中总开销的构成涉及预防性维修费用、故障后维修费用、故障后维修超时罚金和故障次数罚金；Yeh等[3-4,9-10]认为，总开销由预防性维修费用、故障后维修费用和维修超时罚金构成，但未考虑故障次数罚金；Zhou等[16]的维修开销则考虑了预防性维修费用、故障后维修费用和故障次数罚金，未考虑维修超时罚金，但考虑了设备更新费用。在最大化租赁利润的单设备预防维修方面，Chang等[6]提出的利润模型同时考虑了收入和支出，其中收入包括租金和租赁结束后设备的剩余价值，开销则包括设备购置费、预防性维修开销、故障后维修开销和维修超时罚金等；杨爱峰等[12]认为，预防性维修可以回退设备役龄、提高设备剩余价值、增大利润；Yeh等[13]认为一个租赁周期结束后，租赁商为了吸引顾客而给予租金折扣，使单位周期租金越来越少，故需优化租赁周期数。可见，现有的租赁设备预防维修模型均未考虑预防维修服务质量和客户数量的关系。实际上，在租金和设备性能确定的前提下，通过为客户提供良好的维修服务能够吸引更多客户，增大其租赁意愿，最大化租赁商利润。因此，本文假设租金和设备性能确定，研究租赁商利润与客户数量的关系以及相关的预防性维修策略。

客户数量与客户满意度关系密切，客户满意度是优化维修策略的重要因素[17]。客户满意度认知涉及主客观因素，本质上源于预防维修服务质量。格鲁罗斯[18]认为，服务质量是客户感知的质量，取决于客户期望的服务质量和实际接收的服务质量之间的差距。客户实际接收的服务质量称为客观服务绩效，客户期望的服务质量称为主观期望。当客观服务绩效高于或等于主观期望时，客户感知的服务质量良好；反之，当客户的主观期望过高时，即便客观服务绩效良好，客户可能仍不满意服务质量。

鉴于施工单位对承租设备的可靠度非常重视，本文从施工机械的可靠度角度评价维修服务质量，借鉴朱海华[19]采用平均无故障时间表征设备可靠度的做法，用平均无故障时间表征维修服务绩效，并将维修服务质量评估方法和客户数量预测模型引入Yeh等[1]的预防性维修策略。在评估得到量化的服务质量后，预测有意愿承租设备的客户数量，进而得到租赁商利润期望。最后，以租赁商利润期望最大化为目标，使用一维取整一维实数的微粒群算法优化预防维修策略。

1 系统假设

假设租赁设备的故障过程是非齐次泊松过程，没有进行预防维护时，故障率h(t)随着时间单调递增且h(0)=0；本文以故障率服从威布尔分布为例[1-2,8]，则故障过程符合非齐次泊松过程；租赁期内预防维修和故障后维修服务产生的费用均由租赁商承担；若发生故障则进行小修，费用固定，修复前后的设备故障率相同；顺序预防维修的修复效果以故障率回退表示，预防性维修费用与修复效果成正比。故障次数和小修超时均产生罚金。在此基础上进一步有如下假设：

(1)租赁过程 假设租赁商有足够多的设备可供出租，每台设备在某时段内仅可供一个客户租赁，每个客户只租赁一次，每次只租赁一台设备，设备租期相同，则认为租赁的设备数等于客户数。于是，租赁收入可表示为：总租金=单位时间租金×租期×租赁设备数。

(2)客户期望 为了评估维修服务质量，引入服务绩效这一客观评价，与客户的主观期望之差作为服务质量的评价指标。不难发现，若客户的主观期望很高，即使租赁商提供了较好的服务绩效，客户仍然认为服务质量差；若客户的主观期望较低，租赁商即便提供的服务绩效适中，客户也会认为服务质量好。假设客户期望用随机变量Fs表示，其服从正态分布N(μs,σs)。

(3)客户租赁意愿 假设仅考虑维修服务质量对客户租赁意愿的影响。客户感知的维修服务质量高于阈值Sf时，对维修服务表示满意且愿意租赁设备，否则不愿意租赁。

(4)客户租期 假设所有客户租期相同，不考虑租期变化的情况。

2 模型建立

2.1 基本维修策略

为了降低故障次数，租赁商在租赁期内进行n次预防维修，第i次预防维修的时刻为ti，设备故障率回退固定量δ≥0，且0

Cpm(δ)=a+bδ,a>0,b>0。

(1)

式中：a为预防维修固定开销，bδ为可变开销。

相比于租赁期，小修和预防维修所需的时间很短。因此，研究设备故障率变化时，二者所需的时间可忽略不计。而小修超过规定值τ时，会对客户施工过程产生影响，需对超时部分收取罚金。

不进行预防维修时，小修不改变故障率h(t)，故障过程是非齐次泊松过程，[0,t]内的故障次数

(2)

在第i次预防维修后，设备的故障率变为h(ti)-iδ≥0,i=1,2,…,n，如图1[1]所示。

因此，基本维修策略下租赁期内的故障次数[1]

(3)

租赁期内的维修开销包括小修开销、预防维修开销和罚金[1]：

2.2 维修服务质量评估

前文述及维修服务质量是客观服务绩效和客户主观期望的差值。客观服务绩效可用服务可靠性度量，朱海华[19]采用平均无故障时间(mean time to failure, MTTF)作为可靠性的衡量指标。租期内的平均无故障时间为租期与故障次数之商：

(5)

(6)

前面已假设客户对维修服务的主观期望Fs服从正态分布N(μs,σs)，其中μs表示客户群体的期望均值，σs表示标准差，则服务质量可表示为

Qr=Ls-Fs。

(7)

因为Ls是需要优化的确定量，Fs是服从正态分布的随机变量，所以维修服务质量Qr是服从正态分布N(μr,σr)的随机变量，且数值特征间存在以下关系：

(8)

2.3 客户数量

设客户对维修服务质量的满意阈值为Sf，客户不满意租赁商的维修服务时，无意愿租赁设备。因此有意愿租赁设备的客户比例

(9)

设潜在客户规模为α，则有意愿租赁设备的客户数量为

2.4 租赁利润

本文将Chang提出的单设备利润模型及其费用组成[11]扩展到多设备，分别计算多设备的租金收益、剩余价值、维修开销和设备购置费，以便计算总利润。

(1)租金 租赁商的租金收益

P=L×W×αr。

(11)

式中：W为单位租金，αr为客户数量。

(2)租赁结束设备的剩余价值 将Chang等[11]提出的单设备剩余价值乘以客户数量αr，得到多设备的剩余价值

(12)

(3)维修开销和设备购置费 将式(4)所示的单设备维修开销模型乘以客户数量αr即得到多设备维修开销：

nCpm(δ)}×αr。

(13)

此外，设备购置费V与租期长短和维修策略均无关，设其为常数。

2.5 利润模型

租赁商的收入为

租赁商的支出为

(15)

收支相抵，可得租赁商的利润

(16)

3 模型求解

3.1 确定预防维修时刻的确定

将式(3)代入式(16)，得到

E[TP]=E[TR]-E[TC]=Pr×αr

(17)

式中Pr表示租赁商从一个客户所得的利润，

(18)

欲确定利润最大化对应的最佳预防维修时刻ti，需将利润E[TP]对ti求导：

(19)

对Pr求导，得

(20)

将租赁设备的客户数量(式10)对αr求导得

(21)

(22)

(23)

g2(x)具有性质-ɡ2(μr-x)=ɡ2(μr+x);再将式(21)中被积分部分定义为

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(24)

ɡ3(x)具有性质-ɡ3(μr-x)=ɡ3(μr+x),且当x>μr时ɡ3(x)>0,当x<μr时ɡ3(x)<0,当x=μr时ɡ3(x)=0。 因此，以μr为中心在区域(μr-B,μr+B)对ɡ3(x)进行积分，可得

(25)

根据物理意义，服务质量均值μr不可能逼近+∞，客户满意阈值Sf也不可能逼近-∞，因此

|μr-Sf|≪|+∞-μr|=+∞;

(26)

(27)

h(ti)-iδ≥0(i=1,…,n)

(28)

时，越早进行预防维修，越能尽早消除潜在故障，从而提高设备的可靠性。换言之，优质的预防维修服务能够吸引更多客户,从而增加设备出租数量。

对利润E[TP]求导：

(29)

3.2 预防维修次数和修复程度的优化

j=1,2。

(30)

4 案例分析

为验证本文所研究模型的优越性，将Yeh的未考虑维修服务质量的研究[1]与本文考虑维修服务质量的研究进行比较分析，其中Yeh的模型记作mode1，本文模型记作mode2，在此基础上将本文模型进行工程应用实例验证来表明其实用性。数值实验内mode1和mode2的租金、租期和净残值等参数均相同。

4.1 数值案例

假设租赁设备故障率服从威布尔分布h(t)=λβ(λt)β-1，λ=0.5，β=1.5；小修时间Tm服从威布尔分布(2,0.5)；潜在客户总数α=1 000；客户的主观期望Fs服从正态分布N(μs,σs)，μs=0.83，0.85，0.87，σs=0.2；客户满意阈值Sf=0.02；租赁期L=3，单位租金W=700，设备购置费V=1 000，设备净残值Vd=20，设备寿命td=20，小修平均开销Cr=300，故障次数的单位惩罚开销CΛ=100，小修时间超过规定值τ=2后的单位时间惩罚开销Cτ=200，预防维修开销Cpm(δ)=a+bδ=100+50δ。分别使用mode1和mode2进行计算并比较，结果如表1所示。

表1 不同主观期望均值μf下mode1和mode2的预防维修策略

由表1可见，由于mode1不考虑维修服务质量对客户数量和利润的影响，改变客户主观期望的均值μs时，预防维修次数n、修复效果δ、预防维修时刻ti和服务绩效Ls等均保持不变。当主观期望均值μs从0.83依次增大到0.85和0.87时，租赁商的服务绩效不变，mode1的服务质量Qr均值μr相应地从0.028 1下降到0.008 1和-0.011 9(如图2)，因此客户数量从657依次降到275和55(如图3)；相应地，利润从973 220依次降到407 360和81 472(如图4)。

在本文策略mode2中，当客户主观期望上升时，租赁商会相应地提高维修服务绩效，保持较高的服务质量，以吸引较多的客户，从而提升租赁利润。因此，当客户的主观期望均值μs从0.83依次提高到0.85和0.87时，租赁商的服务绩效Ls相应增大，取值从0.8917, 0.9123上升为0.9264，以满足客户不断上升的期望，使服务质量均值μr高于mode1的μr,如图2所示。高水平的服务质量可以吸引更多客户，因此客户数量远高于mode1的客户数量，如图3所示。客户数量多意味着租赁利润大，故而mode2的利润亦远高于mode1的利润，如图4所示。

由以上实验可知，mode1按照单设备租赁维护的方式来管理多设备，在客户主观期望变化时保持既定的维修绩效不变，造成客户显著流失。而mode2随客户期望的提高相应提高服务绩效，使客户数量基本保持稳定，租赁利润远大于mode1。但是应该注意到，由于mode2随着客户主观期望μs的提高而提高预防维修绩效，其单个设备的维修开销上升，如图5所示，可见在最小化维修开销方面mode1更优。为了提高服务质量以吸引更多客户，mode2不得不增加预防维修次数和维修开销，故而需要较多的能耗与资源，如何在提高服务质量和节能减排之间得到平衡，是下一步研究要解决的问题。

4.2 工程实例

以工程吊车出租应用为例，采用文献[11]给出的工程实例数据，吊车故障率服从威布尔分布，h(t)=λβ(λt)β-1，其中λ=0.025，β=3，租赁期L=300，小修平均开销Cr=500，故障次数的单位惩罚开销CΛ=300，小修时间超过规定值τ=2后的单位时间惩罚开销Cτ=100。预防维修开销Cpm=1 000，为使文献[11]的参数定义与本文假设一致，定义a=1 000，b=0，则Cpm(δ)=a+bδ=1 000+0δ=1 000。为引用服务质量建模，需补充如下数据：故障后维修时间Tm服从威布尔分布(2,0.5)，潜在客户总数α=1 000，客户的主观期望Fs服从正态分布N(μs,σs)，μs=0.9，0.92，0.94，σs=0.02，客户满意阈值Sf=0.01，单位租金W=1 000，设备购置费V=10 000，设备净残值Vd=200，设备寿命td=400。

按mode2进行计算，结果如表2所示，表中仅列出第10，20，30，40，50，60，70次的预防维修时刻。由实验结果可知，mode2通过提升服务质量增加了客户数量，进而增大了租赁商的利润。当主观期望均值μs从0.9依次提高到0.92和0.94时，租赁商的服务绩效Ls相应地从0.951提高到0.963 4和0.972 7，以满足客户不断提高的期望，前后的服务质量均值μr分别为0.051，0.043 4和0.032 7。服务质量较高可以吸引较多的客户，因此平均客户数量较大，分别为980，952和872，利润则保持在较好的水平，分别为2.378×108，2.209 2×108和1.879 7×108。这些结果说明，本文策略mode2具有实用性。

表2 不同主观期望均值μf下mode2的预防维修策略

5 结束语

在建筑施工机械设备的租赁过程中，租赁商所提供的维修服务的好坏决定了客户是否愿意租赁设备，进而决定了租赁商的收入和利润。因此，本文在考虑客户期望和维修绩效的基础上，提出维修服务质量评估方法和客户数量预测模型，将其引入顺序预防维修策略并进行优化，旨在最大化租赁商的利润。使用MATLAB软件对一维取整一维实数的微粒群算法进行求解，数值仿真结果表明,本文策略较现有策略能够显著提高租赁商的利润。

为了提高维修服务质量以吸引更多客户，增加了单设备预防维修次数和维修开销，从而增大了能耗和资源需求，如何在提高维修服务质量的同时兼顾节能减排，是下一步要研究的问题。此外，由于现实中客户租期长短不一，而本文假设客户租期相同，故租期不同时的租赁利润最大化问题也是下一步要研究的主要问题之一。同时，本文仅考虑维修服务质量对客户数量的影响，未来研究还需要综合考虑租赁价格、设备性能、品牌口碑等因素对客户数量的影响。

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