模糊预李子代数与模糊Novikov子代数

周 鑫，汤建钢

(伊犁师范学院数学与统计学院，新疆 伊宁 835000)

0 引言

1963年，Gerstenhaber[1]在研究结合代数的形变和上同调理论时提出了预李代数的概念.所谓预李代数是指域F上的一个线性空间A及A上的一个双线性的映射

(x，y)→xy，∀x，y∈A，

满足

(xy)z-x(yz)=(yx)z-y(xz)，∀x，y，z∈A.

预李代数也称为左对称代数[2]、Vinberg代数[2]、Koszul代数[3]、拟结合代数[4]，它与李群、李代数和Yang-Baxter方程等有密切的关系.

如果在预李代数A中定义扩积

[x，y]=xy-yx，∀x，y∈A，

则A构成一个李代数，称为A的邻接李代数.

Novikov代数[5]是指域F上的一个预代数A，满足

(xy)z=(xz)y，∀x，y，z∈A.

Novikov代数是一类重要的预李代数结构，它与流体力学的密切关系逐渐成为研究的热门.

1977年，Katsaras与Liu[6]给出了模糊向量空间的概念.1996年，Yehia[7-8]定义了模糊李子代数及其模糊理想，并讨论了可解模糊理想和幂零模糊理想.本文在上述研究的基础上，引入模糊预李子代数、模糊Novikov子代数和模糊邻接李子代数的概念，讨论了它们的一些性质，分别对权为0和1的Rote-Baxter算子诱导出的预李代数、一类可以诱导出Burgers方程的预李代数与Gelfand[9]、Filipov[10]、徐晓平[11]给出的Novikov代数的模糊子代数结构进行了探析，指出：可以诱导出Burgers方程的预李代数的模糊子代数不是模糊预李子代数，徐晓平给出的Novikov代数的模糊子代数不是模糊Novikov子代数.最后给出了它们的模糊子代数可以构成相应模糊Novikov子代数结构的条件.

1 预备知识

本文中L表示为域F上的一个李代数，I=[0，1].

定义1[6]域F上向量空间V的一个模糊子集μ称为V的一个模糊子空间，如果其满足：

(SV1)μ(x+y)≥μ(x)∧μ(y)；

(SV2)μ(kx)≥μ(x)；

(SV3)μ(0)=1(∀k∈F，x，y∈A).

定义2[6]域F上代数A的一个模糊子集μ称为A的一个模糊子代数，如果其满足：

(SA1)μ是A的一个模糊子空间；

(SA2)μ(xy)≥μ(x)∧μ(y)(∀x，y∈A).

定义3[7]域F上李代数L的一个模糊子集μ称为L的一个模糊李子代数，如果其满足：

(SL1)μ是A的一个模糊子空间；

(SL2)μ([x，y])≥μ(x)∧μ(y)，∀x，y∈L.

命题1[6]设μ是域F上李代数L的一个模糊李子代数，则：

(1) 当k≠0时，μ(ky)=μ(x)；

(2) 当μ(x)≠μ(y)时，μ(x+y)≥μ(x)∧μ(y)；

(3)μ([x，y])=μ(-[y，x])=μ([y，x])，∀k∈F，x，y∈L.

2 主要结果

首先给出模糊预李子代数、模糊Novikov子代数和模糊邻接李子代数的概念.

定义5设μ是域F上预李代数A的一个模糊子集.如果μ是A的一个模糊子代数，则称μ为A的一个模糊预李子代数.

命题2设μ是域F上预李代数A的一个模糊预李子代数，(x，y，z)为A的一个结合子，则

μ((x，y，z))≥μ(x)∧μ(y)∧μ(z).

证明

μ((x，y，z))=μ((xy)z-x(yz))≥
μ((xy)z)∧μ(x(yz))≥μ(xy)∧μ(z)∧μ(x)∧μ(yz)≥
μ(x)∧μ(y)∧μ(z)∧μ(x)∧μ(y)∧μ(z)≥μ(x)∧μ(y)∧μ(z).

命题3设μ是域F上预李代数A的一个模糊预李子代数.A中定义换位运算[x，y]=xy-yx(∀x，y∈A)使A构成邻接李代数，则μ是A的模糊李子代数.此时μ称为A的模糊邻接李子代数.

证明只需证定义3中的条件(SL2)即可.事实上，∀x，y∈A，

μ([x，y])=μ(xy-yx)≥μ(xy)∧μ(yx)≥
μ(x)∧μ(y)∧μ(y)∧μ(x)=μ(x)∧μ(y).

定义6设μ是域F上Novikov代数A的一个模糊子集.如果μ是A的一个模糊子代数， 则称μ为A的一个模糊Novikov子代数.

注1设μ是域F上Novikov代数A的一个模糊Novikov子代数，一般并不能得到μ((xy)z)=μ((xz)y).

下面讨论几类常见预李代数、Novikov代数的模糊代数结构.

引理1[13]设(L，[，])是李代数，线性映射f：L→L是经典Yang-Baxter算子，即满足

[f(x)，f(y)]=f([f(x)，y]+[x，f(y)])，∀x，y∈L.

定义

x∘1y=[f(x)，y]，∀x，y∈L，

则(L，∘1)是预李代数.

定理1设(L，∘1)是引理1定义的预李代数.若μ是(L，[，])的一个模糊李子代数，则μ是(L，∘1)的一个模糊预李子代数.

证明只需证定义2中的条件(SA2).

设f(x)=z，∀x，y∈L，

μ(x∘1y)=μ([f(x)，y])≥sup{μ(t)|t∈f-1(z)}∧μ(y)≥μ(x)∧μ(y).

结论得证.

引理2[14]设(A，·)是结合代数，线性映射f：A→A是权为0的Rota-Baxter算子，即满足

f(x)·f(y)=f(f(x)·y+x·f(y))，∀x，y∈A.

定义

x∘2y=f(x)·y-y·f(x)，∀x，y∈A，

则(A，∘2)是预李代数.

定理2设(A，∘2)是引理2定义的预李代数.若μ是(A，·)的一个模糊子代数，则μ是(A，∘2)的一个模糊预李子代数.

证明只需证定义2中的条件(SA2).

设f(x)=z，∀x，y∈A，

μ(x∘2y)=μ(f(x)·y-y·f(x))≥μ(f(x)·y)∧μ(y·f(x))≥
sup{μ(t)|t∈f-1(z)}∧μ(y)∧μ(y)∧sup{μ(t)|t∈f-1(z)}≥μ(x)∧μ(y).

结论得证.

引理3[14]设(A，·)是结合代数，线性映射f：A→A是权为1的Rota-Baxter算子，即满足

f(x)·f(y)+f(x·y)=f(f(x)·y+x·f(y))，∀x，y∈A.

定义

x∘3y=f(x)·y-y·f(x)-x·y，∀x，y∈A，

则(A，∘2)是预李代数.

定理3设(A，∘3)是引理3定义的预李代数.若μ是(A，·)的一个模糊子代数，则μ是(A，∘3)的一个模糊预李子代数.

证明只需证定义2中的条件(SA2).

设f(x)=z，∀x，y∈A，

μ(x∘3y)=μ(f(x)·y-y·f(x))≥μ(f(x)·y)∧μ(y·f(x))∧μ(x·y)≥
sup{μ(t)|t∈f-1(z)}∧μ(y)∧μ(y)∧sup{μ(t)|t∈f-1(z)}∧μ(x)∧μ(y)=μ(x)∧μ(y).

注2由Svinolupov等[15]给出的一类可以诱导出Burgers方程的预李代数，即设V是复数域C上的一个向量空间，内积运算〈，〉，a∈V，定义

x◇y=〈x，y〉a+〈x，a〉y，∀x，y∈V，

则(V，◇)是预李代数.若μ是V的一个模糊子空间，不能得到μ是(V，◇)的模糊预李子代数.因为

μ(x◇y)=μ(〈x，y〉a+〈x，a〉y)≥μ(〈x，y〉a)∧μ(〈x，a〉y)≥μ(a)∧μ(y)，

此时不满足定义5.

下面给出它可以构成相应模糊代数结构的一个结论：

定理4设(V，◇)是注2中定义的预李代数.若μ是V的一个模糊子空间且μ(a)=1，则μ是(V，◇)的模糊预李子代数.

证明∀x，y∈V，μ(x◇y)=μ(〈x，y〉a+〈x，a〉y)≥μ(〈x，y〉a)∧μ(〈x，a〉y)≥μ(a)∧μ(y)≥μ(x)∧μ(y).

注3若μ=1a，这里1x是指μ在x处的隶属度为1，μ在其他元素的隶属度为0.此时，作为定理4的特殊情况，对于Svinolupov等给出的相应预李代数，若μ是V的一个模糊子空间，则μ是(V，◇)的一个模糊预李子代数.

引理4[9，16]设(A，·)是域F上的交换结合代数，D是A上的导子，定义

x*1y=x·D(y)，∀x，y∈A，

则(A，*1)是Novikov代数.

定理5设(A，*1)是引理4定义的Novikov代数.若μ是(A，·)的一个模糊子代数，则μ是(A，*1)的一个模糊Novikov子代数.

证明只需证定义2中的(SA2).

设D(y)=z，∀x，y∈A，

μ(x*1y)=μ(x·D(y))≥μ(x)∧sup{μ(t)|t∈D-1(z)}≥μ(x)∧y(y).

引理5[10，16]设(A，·)是域F上的交换结合代数，D是A上的导子，a∈F，定义

x*2y=x·D(y)+a·x·y，∀x，y∈A，

则(A，*2)是Novikov代数.

定理6设(A，*2)是引理5定义的Novikov代数.若μ是(A，·)的一个模糊子代数，则μ是(A，*2)的一个模糊Novikov子代数.

证明只需证定义2中的条件(SA2).

设D(y)=z，∀x，y∈A，

μ(x*2y)=μ(x·D(y)+a·x·y)≥
μ(x)∧sup{u(t)|t∈D-1(z)}∧μ(x)∧μ(y)=μ(x)∧μ(y).

注4对于徐晓平[11]给出的相应Novikov代数，即设(A，·)是域F上的交换结合代数，D是A上的导子，a∈A，定义

x*3y=x·D(y)+a·x·y，∀x，y∈A，

则(A，*3)是Novikov代数.

若μ是(A，·)的一个模糊子代数，不能得到μ是(A，*3)的一个模糊Novikov子代数.因为

(x*3y)=μ(x·D(y)+a·x·y)≥
μ(x)∧sup{μ(t)|t∈D-1(z)}∧μ(a)∧μ(x)∧μ(y)=μ(a)∧μ(x)∧μ(y)，

此时不满足定义6.

下面给出它可以构成相应模糊代数结构的一个结论：

定理7设(A，*3)是注4中定义的Novikov代数.若μ是(A，·)的一个模糊子代数且μ(a)=1，则μ是(A，*3)的一个模糊Novikov子代数.

证明设D(y)=z，∀x，y∈A，

μ(x*3y)=μ(x·D(y)+a·x·y)≥
μ(x)∧sup{μ(t)|t∈D-1(z)}∧μ(a)∧μ(x)∧μ(y)=
1∧μ(x)∧μ(y)=μ(x)∧μ(y).

注5若μ=1a，作为定理7的特殊情况，对于徐晓平给出的相应Novikov代数，若μ是(A，·)的一个模糊子代数，则μ是(A，*3)的一个模糊Novikov子代数.

定理8设(A，*3)是注4中定义的Novikov代数.定义

[x，y]=D(x·y)-2y·D(x)，∀x，y∈A，

则(A，[，])是(A，*3)的邻接李代数，且：

(1) 若μ是(A，·)的一个模糊子代数且μ(a)=1，则μ是(A，[，])的一个模糊Novikov子代数；

(2) 若μ是(A，*3)的一个模糊Novikov子代数，则μ是(A，[，])的一个模糊Novikov子代数.

证明首先由定理4知μ是(A，*3)的一个模糊李子代数.

设D(xy)=u，D(x)=v，∀x，y∈A，有

μ([x，y])≥sup{μ(s)|s∈D-1(u)}∧μ(y)∧
sup{μ(t)|t∈D-1(v)}≥μ(xy)∧μ(y)∧μ(x)≥
μ(x)∧μ(y)∧μ(y)∧μ(x)=μ(x)∧μ(y).

结论(2)由定义6和结论(1)的证明过程可得.

[参 考 文 献]

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