捕获目标卫星后组合体航天器模糊神经网络滑模控制*

梁捷 秦开宇 陈力

(1.电子科技大学航空航天学院,成都 611731) (2.中国空气动力研究与发展中心,绵阳 621000) (3.福州大学机械工程及自动化学院,福州 350108)

引言

由于空间机械臂最早是在美国航天飞机、国际空间站及复杂航天器[1]上使用的,主要承担的是卫星释放或空间站组件的在轨组装工作,因此主要涉及到的是非抓捕过程空间机械臂完成特定任务操作的运动学规划、动力学与控制问题[2-21].随着空间机械臂技术的不断发展、成熟,空间机械臂具有对卫星的在轨捕获、服务、维修等操作能力是空间机械臂技术发展的必然趋势.但目前相关研究开展得并不多,且主要以减小抓取冲击的运动学规划及抓捕过程的动力学分析为主[22-24],有关控制问题的研究较少.值得注意的是,由于空间机械臂所处的复杂太空失重环境,使得具有与地面固定基机械臂系统完全不同的动力学特性及限制条件,由于空间机械臂系统的载体为自由漂浮状态,系统结构呈现出非线性和强耦合性,因此无法将惯常用于地面固定机械臂的控制方法直接推广、应用于空间机械臂控制系统中.当系统存在未知参数时,问题表现得尤其突出.同时,捕获操作后空间机械臂系统与目标卫星组成的组合体航天器镇定控制涉及的动力学模型除了具有上述空间机械臂系统模型具有的难点外,还耦合了空间机械臂系统捕获目标卫星操作过程动量、冲量的传递问题,且是叠加了空间机械臂系统与目标卫星两者动力学问题的组合模型；复杂程度、关联程度较比单空间机械臂模型更大,因此相关镇定控制系统设计问题的研究难度更大,挑战性更高.

我们注意到,文献[17-19]分别讨论了漂浮基空间机械臂系统的自适应控制、鲁棒自适应混合控制等控制方案.然而这些控制方案有一个共同点:即要求系统动力学方程满足关于惯性参数的线性函数关系.这一要求对捕获操作后空间机械臂系统与目标卫星组成的组合体航天器来说很难达到.鉴于非奇异Terminal滑模控制原理消除了传统滑模控制带来的奇异问题及抖振,具有有限时间收敛和强鲁棒性的特点；且采用模糊神经网络控制算法处理系统的不确定性,不仅可摆脱上述系统动力学方程关于惯性参数呈线性函数关系要求的束缚,同时也无需预知系统惯性参数.因此文中基于非奇异Terminal滑模原理,将模糊神经网络引入非奇异Terminal滑模控制器中,从而设计出一种基于模糊神经网络自适应控制算法的智能非奇异Terminal滑模控制方法,来解决漂浮基空间机械臂系统捕获目标卫星后组合体航天器镇定运动控制问题.

1 动力学建模

不失一般性,以图1所示的由自由漂浮的航天飞机载体B0、机械臂B1和B2组成的空间机械臂系统为例,(P)为即将捕获的目标卫星,P为捕获后的目标卫星.建立系统惯性坐标系(O-xy),分体Bi的主轴坐标系(Oi-xiyi),(i=0,1,2).各分体的质量和中心惯量张量分别为mi(i=0,1,2)和Ii(i=0,1,2).l0为O0到O1的距离,li(i=1,2) 为机械臂的连杆长度.定义ri(i=0,1,2)为各分体Bi质心OCi相对于O的矢径,rC为系统总质心C相对于O的矢径.ei为沿轴xi(i=0,1,2)方向的基矢量.

图1 捕获目标卫星后组合体航天器模型Fig.1 Assembled spacecraft after capture target satellite

设空间机械臂系统将对一质量为mp、中心惯量张量为Ip、初始移动速度为vx、vy,初始转动角速度为ωp的目标卫星P进行在轨捕获操作.由拉格朗日方法,可建立如下在轨捕获期间空间机械臂系统动力学方程:

(1)

建立如下在轨捕获期间目标卫星的动力学方程:

(2)

考虑到碰撞时,被捕获目标卫星与空间机械臂系统之间作用力和反作用关系FI′=-FI,将式(2)代入式(1),得到:

(3)

设空间机械臂系统与目标卫星相互碰撞时,接触力很大且时间很短,则其广义坐标向量没有发生变化,广义速度发生变化；同时,设碰撞期间系统无控制输入,即FB=0、τ=0.

定义碰撞时间为Δt→0,式(3)对碰撞时间Δt进行积分,得到:

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

将式(9)和式(1)联立,得到式(10)表示的组合体航天器的动力学方程,它同时包含了空间机械臂系统和目标卫星的动力学特征.

(10)

其中,

为了节省控制燃料消耗,组合体航天器通常不会对航天飞机载体位置进行主动控制,即:FB=0,则式(10)可写为如下欠驱动形式的动力学方程:

(11)

(12)

为捕获后控制系统设计的需要,将式(12)作准线性化处理[25],写作:

(13)

2 控制系统设计与稳定性分析

捕获目标卫星后组合体航天器中的航天飞机载体姿态与机械臂各关节铰协调运动的控制问题,归结于确定航天飞机载体姿态控制系统及机械臂各关节铰驱动器的控制输入规律,以实现航天飞机载体及机械臂各关节铰协调运动的精确跟踪控制.为此,本节针对实际应用中组合体航天器的惯性参数很难精确确定的情况,设计了一种基于模糊神经网络(Fuzzy Neural Network,简写为:FNN)的非奇异Terminal滑模控制算法.该算法的设计思想是:通过模糊神经网络自适应控制算法来弥补系统惯性参数未知对非奇异Terminal 滑模控制器的影响,即利用模糊神经网络设计了一种在线自适应控制算法来逼近非奇异Terminal 滑模控制器中组合体航天器的不确定性,而后将FNN的逼近误差用鲁棒控制器来消除,以提高及补偿FNN的系统参数识别精度.该算法既克服了混合体系统存在的非线性、不确定性、强耦合等因素的影响,又保证了系统的稳定性并具有良好的暂态性能.具体控制系统设计步骤如下.

2.1 组合体航天器标称系统非奇异Terminal滑模控制器设计

式(12)可改写为:

(14)

为了简化控制器设计,引入如下概念[26]:

sig(y)γ=[|y1|γ1sign(y1),…,|yn|γnsign(yn)]T,

其中,y∈Rn.

定义1:非奇异Terminal滑模面设计

(15)

其中,s=[s1,s2,s3]T；滑模面常数β=diag[β1,β2,β3]为对角正定矩阵；1<γi<2(i=1,2,3).

式(15)对时间求导:

(16)

定义2:为使系统状态运动到滑模面的时间短且有着良好的动态品质,组合体航天器非奇异Terminal滑模趋近律定义为:

(17)

式中,K1=diag(K11,K12,K13),K2=diag(K21,K22,K23) 为对角正定矩阵; 0

联立式(16)和式(17),得:

(18)

此时,如将非奇异Terminal滑模控制律ueq视为组合体航天器的控制输入,即令:ueq=τ,由式(18),可得非奇异Terminal滑模控制律为:

(19)

2.2 基于模糊神经网络的非奇异Terminal滑模控制算法设计

2.2.1 模糊神经网络的结构

模糊神经网络融合了神经网络和模糊逻辑的优点,避免了二者的不足,既具备了模糊逻辑的不确定信息处理能力,又有神经网络的自学习修正模糊控制的控制规则和隶属函数的能力,在处理非线性问题上具有较大的优越性.文中建立的用于捕获后组合体航天器系统镇定控制的模糊神经网络有四层结构:输入层、隶属度函数生成层、规则层和输出层,其结构如图2所示.该FNN主要是将模糊集合的概念应用于神经网络的计算和学习,在发挥神经网络所具有的较好的学习能力和准确拟合任意非线性函数的能力的同时,利用模糊逻辑系统的先验知识,将神经网络的初始值配置于全局极点附近,从而克服神经网络易陷入局部极值点附近的问题.

图2 模糊神经网络结构图Fig.2 Structure chart of fuzzy neural network

在图2中,x1,x2,…,xm为输入的语言变量,F1,F2,…,Fn和D1,D2,…,Dn为输出变量,其描述输入输出关系的模糊规则形式为:

第一层:输入层.该层的各个结点直接与输入值(角度、角速度误差)连接,它起着将输入值传送到下一层的作用.

(20)

第三层:规则层.每个结点代表一条模糊规则,它的作用是用来计算每条规则的适用度,模糊逻辑推理采用乘积计算,第l条规则的输出为:

(21)

第四层:输出层.每个节点代表一个输出,同时也充当着反模糊化器,则模糊神经网络输出:

(22)

为便于控制方案的设计,模糊神经网络的输出可改写为下列形式:

F(X,WF)=Φ(X)WF,

D(X,WD)=Φ(X)WD

(23)

其中,

F(X,WF)=[F1,…,Fn]∈Rn×1,

D(X,WD)=diag(Di,…,Dn)∈Rn×n,

Φ(X)=block_diag(φT,…φT)∈Rn×nN,

Φ(X)为FNN基函数,WF和WD为网络的权值矩阵,在下文将设计其自适应调节规律.

2.2.2 自适应控制律设计及稳定性分析

(24)

(25)

定义最小逼近误差为:

(26)

假定逼近误差存在上界,即:

由式(26)可得:

(27)

(28)

(29)

(30)

其中,ε0为任意小的正实数,Im为单位阵.同时为了克服模糊神经网络建模误差,设计了鲁棒控制器ψ,则组合体航天器控制系统模型式(13)总的控制算法设计为:

τ=ueq+ψ

(31)

用于克服模糊神经网络建模误差的鲁棒控制器设计为:

(32)

其中,

取模糊神经网络权值自适应更新律为:

(33)

其中,ξF>0,ξD>0为学习率.

(34)

定理1: 针对捕获目标卫星后组合体航天器控制系统模型式(13),目的是设计控制算法式(31),模糊神经网络权值采用自适应更新律式(33),以及鲁棒控制器式(32),使得式(13)和式(31)组成的闭环系统:

(35)

有以下性质:

(36)

(37)

其中,Δ1和Δ2为滑模变量收敛区间,该区间与函数逼近误差有关,大小是可调节的,k1和k2分别为K1和K2的最小特征值.

证明: 综合式(14)、式(16) 、式(23) 、式(31)和式(32),可得:

(38)

性质(i)证明

定义Lyapunov函数:

(39)

上式对时间求导,并结合式(38)得:

εF+εDueq]

(40)

将模糊神经网络权值自适应更新律式(33)代入上式,可得:

εF+εDueq]

εF+εDueq]

(41)

可得:

(42)

由鲁棒控制器式(32),可得:

(43)

那么,

(44)

因此:

(45)

性质(ii)证明

定义Lyapunov函数:

(46)

εF+εDueq]}<0

(47)

因此系统状态能够在有限时间内到达滑模面,由引理1可得,有限到达时间为:

(48)

系统状态到达滑模面后,将沿着滑模面有限时间内收敛到平衡点,因此位置和速度跟踪误差在有限时间内快速收敛到零.

性质(iii)证明

该项证明的目的是分析所提控制器对参数不确定具有鲁棒性,且收敛误差可收敛到一可调的收敛区间.

定义Lyapunov函数:

(49)

sTs0[Dψ-u0+εF+εDueq]

(50)

因此,令:

(51)

则上式可改写成两种形式进行讨论:

(52)

(53)

当k1-|δi|/|si|>0时,有|si|≤|δi|/k1,其中,k1是K1的最小特征值.因此滑模变量有限时间内收敛到区间‖s‖=(‖δ‖/k1)=Δ1.

性质(iv)证明

当有滑模变量限时间到达区间Δ=min(Δ1,Δ2)后,非奇异Terminal滑模面为:

(54)

即:

(55)

(56)

(证毕)

因此,由李亚普洛夫稳定性判据可知,系统误差收敛于零,闭环系统渐近稳定.所设计的控制算法式(31)和模糊高斯神经网络权值自适应更新律式(33),以及鲁棒控制器式(32)可有效地控制混合体系统渐近稳定地完成所期望的协调运动.

3 仿真实验

针对图1所示的空间机械臂系统与被捕获目标卫星组成的组合体航天器,在捕获操作接触、碰撞冲击影响下,利用本文提出控制算法式(31)和模糊神经网络权值自适应更新律式(33),以及鲁棒控制器式(32)进行数值仿真实验.设机械臂Bi(i=1,2)沿xi轴的长度为3m,关节O1与航天飞机载体质心O0的距离为1.5m,机械臂B1的质心与关节O1的距离为2m.机械臂B2和捕获卫星P的质心与关节O2的距离为1.5m.各分体质量和惯量矩分别为:m0=40kg,m1=2kg,m2=1kg；I0=34.17kg·m2,I1=1.5kg·m2,I2=0.75kg·m2；目标卫星的质量为mP=2kg,中心惯量张量为IP=1kg·m2.

仿真时,假设捕获操作前目标卫星的速度为vx=1m/s、vy=-1m/s和ωP=1rad/s,且空间机械臂末端位置已到达捕获位置；完成捕获操作后,假设控制时目标卫星的质量及中心惯量张量未知,并假设它们的初始值均为零.该仿真中,在捕获过程接触、碰撞冲击影响下组合体航天器的初始速度由§2.2节计算得出.同时,控制律参数选为:

ξF=0.3,ξD=0.02,p=0.55,ε0=0.15,

εF=0.25,εD=0.25,δ0=0.2,

β=diag[0.5,0.5,0.5],K1=diag(15,15,15),

K2=diag(30,30,30).

此外,假设组合体航天器系统运动转角的期望轨迹为:

仿真实验一:主要由两个部分组成,第一部分为碰撞后对组合体航天器不进行主动控制；第二部分为利用式(31)所设计的控制算法进行主动控制的仿真研究.仿真结果如图3～图9所示,其中图3和图4分别为碰撞后对组合体航天器不进行主动控制和利用基于模糊神经网络的非奇异Terminal滑模控制算法控制时,整个系统的运动情况.在图5～图9中,当碰撞后对组合体航天器不进行主动控制时,各个广义坐标的运动轨迹用虚线表示；当对组合体航天器使用基于模糊神经网络的非奇异Terminal滑模控制算法控制时,各广义坐标的运动轨迹则用点划线表示；实线则用来表示各广义坐标的期望运动轨迹.图5和图6为碰撞后载体位置的变化情况；图7为载体姿态的变化情况；图8和图9分别为空间机器人机械臂关节铰1、2的变化情况.

从仿真图3～图9可看出,在目标卫星的质量及中心惯量张量未知情况下,文中提出的基于模糊神经网络的非奇异Terminal滑模控制算法能够控制混合体系统的航天飞机载体姿态角及机械臂两关节铰同时跟踪期望轨迹,然而,在此情况下,如果不对组合体航天器进行主动控制就很难得到令人满意的结果.

图3 系统整体运动情况(碰撞后主动控制)Fig.3 Motion of whole system(System is controlled after collision)

图4 系统整体运动情况(碰撞后不进行主动控制)Fig.4 Motion of whole system(System is uncontrolled after collision)

图5 载体位置坐标X变化情况Fig.5 Chang of base′s position coordinates X

图6 载体位置坐标Y变化情况Fig.6 Chang of base′s position coordinates Y

仿真实验二:开启和关闭鲁棒控制项ψ(式(32))时,载体姿态角θ0,机械臂关节铰θ1和θ2实际轨迹与期望轨迹的比较, 仿真结果如图10～图12所示.在图10～图12中,点划线为开启鲁棒控制项ψ时,碰撞后混合体系统载体姿态角θ0、机械臂关节角θ1和θ2的实际运动轨迹；虚线为关闭鲁棒控制项ψ时,碰撞后组合体航天器载体姿态角θ0、机械臂关节角θ1和θ2的实际运动轨迹；实线为碰撞后组合体航天器载体姿态角θ0、机械臂关节角θ1和θ2的期望运动轨迹.从图10～图12的仿真结果可以看出,文中设计的基于鲁棒控制器式(32)的控制算法式(31)可以消除模糊神经网络的逼近误差,有效地控制组合体航天器的载体姿态及机械臂关节稳定地跟踪期望运动轨迹.

图7 载体姿态角θ0的运动轨迹比较Fig.7 Comparison of motion trajectory for base′s attitude θ0

图8 机械臂关节铰θ1的运动轨迹比较Fig.8 Comparison of motion trajectory for the first joint θ1

图9 机械臂关节铰θ2的运动轨迹比较Fig.9 Comparison of motion trajectory for the second joint θ2

图10 开启与关闭鲁棒项ψ情况下载体姿态角θ0实际轨迹与期望轨迹的比较Fig.10 Comparison of the real and expected tracking of the base′s attitude θ0

图11 开启与关闭鲁棒项ψ情况下机械臂关节角θ1实际轨迹与期望轨迹的比较Fig.11 Comparison of real and expected trajectory of base′s attitude θ1when opening and closing the robust control item ψ

图12 开启与关闭鲁棒项ψ情况下机械臂关节角θ2实际轨迹与期望轨迹的比较Fig.12 Comparison of real and expected trajectory of base′s attitude θ2 when opening and closing the robust control item ψ

图13 非线性函数F(1)的离线训练情况Fig.13 Offline training of nonlinear function F(1)

图14 非线性函数F(2)的离线训练情况Fig.14 Offline training of nonlinear function F(2)

图15 非线性函数F(3)的离线训练情况Fig.15 Offline training of nonlinear function F(3)

图16 非线性函数D(1,1)的离线训练情况Fig.16 Offline training of nonlinear function D(1,1)

图17 非线性函数D(2,2)的离线训练情况Fig.17 Offline training of nonlinear function D(2,2)

图18 非线性函数D(3,3)的离线训练情况Fig.18 Offline training of nonlinear function D(3,3)

[rand(1,200);rand(1,200);2π/3+0.6rand(1,200)-0.3;2rand(1,200)-1+π/3; -2rand(1,200)-1+π/3;

rand(1,200);rand(1,200);(2rand(1,200)-1)π/12;-π(2rand(1,200)-1)/3; -π(2rand(1,200)-1)/3]

它们分别对应载体位置、机械臂关节角、载体位置速率、机械臂关节角角速率.

图19 FNN的网络输出权值的变化情况Fig.19 Evolution of the weights of the fuzzy

图20 FNN的网络输出权值的变化情况Fig.20 Evolution of the weights of the fuzzy

4 小结

文章设计了一种基于模糊神经网络的非奇异Terminal滑模控制算法,来解决在轨捕获参数未知目标卫星后组合航天器的镇定控制问题.该控制算法将模糊神经网络引入非奇异Terminal滑模控制器中,从而设计了一种基于模糊神经网络自适应控制算法的智能非奇异Terminal滑模控制方法,理论分析证明了在该控制算法作用下,闭环控制系统的稳定性及跟踪误差和速度误差能在有限时间内收敛到一个可调大小的收敛区间.仿真结果表明:本文研究的基于模糊神经网络的非奇异Terminal滑模控制算法能够有效地消除空间机械臂系统进行捕获操作时接触碰撞对整个系统造成的不利影响(接触碰撞使得系统变量都产生了较大变化),在不是特定的初值情况下,前三分之一仿真时段内,实际轨迹已准确跟踪期望轨迹；通过对比有无主动控制及开启和关闭鲁棒控制器式(32)的情况,更证实了该控制算法的有效性与准确性.

1曹丽,周志成,曲广吉. 面向控制的变构型航天器柔性耦合动力学建模与仿真. 工程力学, 2013,30(8):266～271 (Cao L, Zhou Z C, Qu G J. Flexible coupling dynamics modeling and simulation of variable configuration spacecraft oriented control.EngineeringMechanics, 2013,30(8):266～271 (in Chinese))

2Isenberg D R, Kakad Y P. Quaternion based computed-torque and feed-forward tracking controllers for a space robot. In:Proceedings of the Annual South eastern Symposium on System Theory, March 7-9,2010,Tyler,TX, United States, 2010:232～236

3Sagara S, Taira Y. Digital control of space robot manipulators with velocity type joint controller using transpose of generalized jacobian matrix.ArtificialLifeandRobotics, 2008,13(1):355～358

4Steve U, Jurek Z S. Extended kalman filtering for flexible joint space robot control. In:2011 American Control Conference. San Francisco. CA. USA:IEEE, 2011:1021～1026

5Nanos K. On the use of free-floating space robots in the presence of angular momentum.IntelligentServiceRobotics, 2011,4(1):3～15

6Lindsay E. Canadian space robotics on board the international space station. In:2005 CCToMM Symposium on Mechanisms,Machines, and Mechatronics, Canadian Space Agency,Montreal , Canada. May 26～27,2005

7Abibo S, Hirzinger G. Adaptive control for a torque controlled free-floating space robot with kinematic and dynamic model uncertainty. In:The 2009 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems. Saint. Louis,USA: IEEE, 2009:2359～2364

8于登云,孙京,马兴瑞. 空间机械臂技术及发展建议. 航天器工程, 2007,16(4):1～8 (Yu D Y, Sun J, Ma X R. Suggestion on development of chinese space manipulator technology.SpacecraftEngineering, 2007,16(4):1～8 (in Chinese))

9李俊峰,王照林. 带空间机械臂的充液航天器姿态动力学研究. 宇航学报, 1999,20(2): 81～86(Li J F,Wang Z L. Study on attitude dynamics of a liquid-filled spacecraft with manipulators.JournalofAstronautics, 1999,20(2):81～86 (in Chinese))

10 李青,王天舒. 高频激励下旋转柔性臂逆动力学模态自适应方法研究. 空间科学学报, 2008,28(4):345～349 (Li Q,Wang T S. Adaptive mode method in inverse dynamics of a rotating flexible manipulator with high-frequency excitation.ChineseJournalofSpaceScience, 2008,28(4):345～349 (in Chinese))

11 吴立成,孙富春,孙增圻. 柔性空间机器人振动抑制轨迹规划算法. 机器人, 2003,25(3):250～254(Wu L C, Sun F C, Sun Z Q. Optimal trajectory planning of flexible space robot for vibration reducing.Robot, 2003,25(3):250～254 (in Chinese))

12 林倩,袁军. 基于向量对方法的柔性空间机械臂建模与仿真. 空间控制技术与应用,2016,42(2):26～31( Lin Q,Yuan J. Dynamic modeling and simulation of flexible space manipulator.AerospaceControlandApplication, 2016,42(2):26～31 (in Chinese))

13 刘福才,高娟娟,王芳.地面装调的空间机械臂在空间应用时的自适应鲁棒控制.控制理论与应用, 2013,30(1):69～75 (Liu F C,Gao J J,Wang F.Adaptive robust control for the space application of manipulator aligned on ground.ControlTheory&Applications, 2013,30(1):69～75 (in Chinese))

14 阎绍泽,黄铁球,吴德隆. 空间飞行器柔性附件动力学建模方法研究. 导弹与航天运载技术, 1999(2):31～39 (Yan S Z, Huang T Q, Wu D L. Study on dynamics modeling of a flexible appendage of spacecraft.MissilesandSpaceVehicles, 1999(2):31～39 (in Chinese))

15 丁希仑. 一种多旋翼多功能空中机器人及其腿式壁面行走运动规划. 航空学报, 2010,31(10):2075～2086 (Ding X L. A multi-propeller and multi-function aero-robot and its motion planning of leg-wall-climbing.ActaAeronouticaetAstronauticaSinica, 2010,31(10):2075～2086 (in Chinese))

16 洪在地,贠超,陈力. 柔性臂漂浮基空间机器人建模与轨迹跟踪控制. 机器人, 2007,29(1):92～96 (Hong Z D, Yun C, Chen L. Modeling and trajectory tracking control of a free-floating space robot with flexible manipulator.Robot, 2007,29(1):92～96 (in Chinese))

17 Gu Y L, Xu Y S. A normal form augmentation approach to adaptive control of space robot systems.JournaloftheDynamicsandControl, 1995,5(3):275～294

18 Walker M W. Adaptive control of space-based robot manipulators.IEEETransactionsonRoboticsandAutomation, 1992,7(6):828～835

19 陈力. 参数不确定空间机械臂系统的鲁棒自适应混合控制. 控制理论与应用, 2004,21(4):512～516 (Chen L. Robust and adaptive composite control of space manipulator system with uncertain parameters.ControlTheoryandApplication, 2004,21(4):512～516 (in Chinese))

20 梁捷,陈力,秦开宇. 基座弹性影响下空间站柔性关节机械臂的鲁棒自适应滑模控制及双重弹性振动主动抑制. 载人航天, 2016,22(6):788～796 (Liang J, Chen L, Qin K Y. Robust adaptive sliding control and active dual vibration suppression in flexible joint manipulator of space station with elastic foundation.MannedSpaceflight, 2016,22(6):788～796 (in Chinese))

21 梁捷,陈力,梁频. 柔性空间机器人基于关节柔性补偿控制器与虚拟力概念的模糊全局滑模控制及振动主动抑制. 振动与冲击, 2016,35(18):62～70 (Liang J, Chen L, Liang P. Adaptive fuzzy global sliding mode control and double flexible vibration active hierarchical suppression of space robot with flexible-link and flexible-joint.JournalofVibrationandShock, 2016,35(18):62～70 (in Chinese))

22 Matsumoto S, Jacobsen S, Dubowsky S. Approach planning and guidance for uncontrolled rotating sattelite capture considering collision avoidance . In:Proceeding of the 7th International Symposium on Artificial Intelligence and Robotics & Automation in Space ( i-SAIRAS), Nara, Japan, May, 2003

23 Sagara S, Taira Y. Digital control of space robot manipulators with velocity type joint controller using transpose of generalized jacobian matrix.ArtificialLifeandRobotics, 2008,13(1):355～358

24 Pan F H, Yang S X, Bin L. Contact and impact dynamics of space manipulator and free-flying target.IntelligentRobotsandSystems, 2005 (IROS 2005):1181～1186

25 Slotin J E, Li W P. On the adaptive control of robot manipulators.JournaloftheRobotsResearch, 1987,6(3):49～59

26 Haimo V T. Finite time controllers.SIAMJournalofControlandOptimization, 1986,24(4):760～770