应力敏感性碳酸盐岩气藏斜井生产动态规律分析

孟凡坤， 雷 群， 何东博， 闫海军， 徐 伟

( 1. 中国石油勘探开发研究院，北京 100083； 2. 中国石油西南油气田分公司 勘探开发研究院，四川 成都 610051 )

0 引言

为提高油气井产能、改善油气藏开发效果，斜井、水平井等复杂井型得到广泛的应用。以开发中的高石梯—磨溪碳酸盐岩气藏为例，斜井约占投产井总数的1/2，生产动态呈现高产稳产的变化特征[1]。目前气藏处于开发早期，对斜井动态变化规律及增产机理认识不清，且储层应力敏感性较强[2-3]，因此亟需考虑储层特征，建立斜井数学模型，预测斜井动态变化规律，明确斜井增产机理，从而指导斜井的开发设计。

人们建立多种斜井流动数学模型，模型本质上主要分为三类：一类是以Cinco H等为代表，运用格林函数、Newman乘积等方法，建立实空间斜井数学模型，其理论及计算过程较为简洁，但未考虑井储、表皮效应等复杂因素[4-7]；二类为基于传统的渗流扩散方程，综合运用Laplace变换、镜像映射及泊松变换等方法，确立不同边界条件下的点源函数解，通过数值积分及Stehfest数值反演对斜井模型进行求解，特点是考虑较为复杂的储层及生产状况，但推导、计算过程较为复杂[8-13]；三类为在建立斜井渗流模型基础上，运用有限元等数值方法对模型离散求解，处理过程难度较大，可应用性较差[14-15]。另外，对于应力敏感性的考虑，主要采用数值离散或摄动变换技术进行处理，求解过程复杂，应用条件也较为苛刻[16-21]。

借鉴文献[22]的研究方法，考虑高石梯—磨溪区块碳酸盐岩气藏储层渗流特征与边界特性，基于传统渗流扩散方程，引入拟压力及拟时间函数描述渗透率变化规律，综合运用Laplace变换、Fourier变换及其反变换、点源函数叠加等方法，建立碳酸盐岩气藏斜井渗流数学模型；结合气藏物质平衡方程，对模型进行求解，分析应力敏感因数、井斜角等对生产动态的影响，以指导不同厚度地层井斜角的设计。

1 储层应力敏感性分析

选取高石梯—磨溪区块储层岩心，利用异常高压岩心驱替装置，在室温条件下，开展应力敏感性分析实验，因裂缝渗透率远大于基质渗透率，假定测得的岩石渗透率等价于裂缝系统渗透率。在实验过程中保持围压恒定，以5 MPa为间隔逐渐降低内压，模拟气藏衰竭式开采过程，测试不同有效应力(净压力)时渗透率。定义无因次渗透率(各测试点渗透率与初始测定渗透率之比)，绘制岩心无因次渗透率与有效应力之间的关系曲线(见图1)。

图1 储层无因次渗透率随有效应力变化关系曲线Fig.1 The relation between formation dimensionless permeability and net confining stress

分别运用幂函数与指数函数进行回归拟合，结果表明幂函数拟合效果较好。根据量纲一致性原则，对回归公式进行处理[3]，求得无因次渗透率与有效应力变化关系式为

(1)

式中：p为实验流压；ps、pi为实验围压与初始流压；kf为岩石裂缝渗透率；kfi为初始流压下测定的裂缝系统渗透率；α为储层应力敏感因数，α=0.738。实验和实际气藏开发存在对应关系，气藏上覆岩层压力、平均地层压力及原始地层压力分别对应实验围压、流压和初始流压。

2 模型建立

2.1 物理模型

图2 碳酸盐岩气藏封闭边界斜井模型示意Fig.2 Schematic of a slanted well in carbonate gas reservoir with closed boundary

综合考虑高石梯—磨溪区块震旦系气藏地质特征与开发井型，建立碳酸盐岩气藏三重孔隙介质斜井渗流物理模型(见图2，其中Lw为斜井长度)。

假设：

(1)气井以恒定产量qg生产，井斜角为θ，完全射开，沿井筒方向气体流量均匀分布，生产前气藏中各点压力相等，等于原始地层压力pi；

(2)地层水平，统一厚度为h，上下边界、径向外边界封闭，半径为Re，满足θ≤arctan(2Re/h)；

(3)基质、溶洞为主要的储集空间，裂缝为主要的渗流通道，基质向裂缝为拟稳态窜流，裂缝系统渗透率存在应力敏感效应；

(4)考虑气藏水平与垂直方向裂缝渗透率的各向异性，水平、垂直裂缝渗透率分别为kfh、kfv；

(5)气体为可压缩性气体，忽略岩石及束缚水的压缩性；

(6)流动为达西渗流，忽略重力、毛管力的影响。

2.2 数学模型

2.2.1 点源数学模型

根据物理模型假设，建立碳酸盐岩气藏三重孔隙介质斜井渗流数学模型。先推导渗流数学模型的点源函数解，给出点源模型的基本微分方程、初始条件和边界条件。

基本微分方程：

(2)

(3)

(4)

初始条件：

mf=mc=mm=mpi,tp=0。

(5)

边界条件：

(6)

(7)

式(2-7)中：mf、mm、mc、mpi分别为裂缝、基质、溶洞系统及原始地层压力对应的拟压力，

(8)

Ctf、Ctm、Ctc分别为裂缝、基质及溶洞系统综合压缩系数，

Ctf=Cgi(1-Swfi),Ctm=Cgi(1-Swmi),Ctc=Cgi(1-Swci);

(9)

式(2-7)中存在近似：

(10)

2.2.2 模型无因次化

(11)

(12)

(13)

mcD=mmD=mfD=0,tD=0。

(14)

(15)

(16)

式(11-16)中：rD为无因次半径；ReD为气藏无因次半径；hD为无因次地层厚度；mfD、mmD、mcD分别为裂缝、基质与溶洞系统无因次拟压力；ωm、ωc、ωf分别为基质、溶洞及裂缝系统储容比；λm、λc分别为基质、溶洞向裂缝系统的窜流系数。

各无因次变量的定义为

3 模型求解与验证

3.1 模型求解

3.1.1 斜井无因次拟井底流压

先对数学模型(式(11-16))进行关于tD的拉氏变换：

(17)

然后引入Fourier变换及其反变换关系式：

(18)

(19)

代入边界条件，得拉氏空间中的点源函数解为

(20)

(21)

由于产气量沿斜井段均匀分布，根据连续点源叠加原理，首先对坐标系进行旋转变换；然后对点源函数解(式(20))沿斜井段积分，得斜井在拉氏空间的无因次压力为

(22)

(23)

式(17-23)中：s为拉氏变量；LwD为斜井无因次长度；θ、θ′为井斜角和等效井斜角；xD、yD、zD分别为等效压力点无因次坐标；xwD、ywD、zwD分别为斜井中心点的无因次坐标，表达式为

为了简化计算，需选择恰当的等效压力点，借鉴文献[4,11-12]的研究方法，等效压力点无因次坐标设为

(24)

对式(22)进行数值积分，运用Stehfest数值反演方法[23]，可求得无因次井底流压；有因次化后，可求得拟井底流压。

3.1.2 斜井井底流压

由于拟压力函数考虑气体性质、储层渗透率等随压力的变化(式(10))，有较强的非线性，因此采用数值积分法构造数值表，通过线性插值确定拟压力对应的压力。分别采用Lee-Gonzalez-Eakin半经验公式法和Hall-Yarbough方法，计算气体黏度、压缩因子[24-25]，用式(1)描述渗透率变化。结合物质平衡方程，通过数值积分计算拟时间函数，运用D-A-K方法计算压缩系数[26]。

数学模型求解步骤为：

(1)计算不同时刻累计产气量Gp：

Gp=qgt。

(25)

(2)求解物质平衡方程，通过插值求取每一时间步气藏平均压力：

(26)

式中：Gsc为气藏地质储量，由容积法计算求得。

(3)计算气体黏度、压缩系数等PVT参数，根据式(10)计算拟时间tp。

(4)对拟时间进行无因次化，求取无因次井底流压，有因次化后得到拟井底流压，通过插值求得实际井底流压。

3.2 模型验证

选取高石梯—磨溪区块两口投产斜井(X1和X2井)，整理并综合储层与生产工艺参数，获得敏感性分析基础参数，见表1。天然气组分测试显示两口井的采出气组成相近，气体相对密度为0.59，临界压力为4.82 MPa，临界温度为199.3 K。储层应力敏感因数由实验分析和曲线拟合求得，取为0.738。通过井口油压迭代计算求得井底流压[27]，将两口井的实际储层及流体参数代入文中模型进行计算，与实际生产数据进行对比(见图3)。

表1 碳酸盐岩气藏储层及生产参数

图3 文中模型计算结果与实际生产数据Fig.3 Comparison between calculated results and practical data

由图3可见，两口井的计算井底流压与实际井底流压总体吻合程度较好，验证文中模型的有效性，表明文中模型可较为准确地描述与预测斜井的生产动态。由图3(a)可见，在X1井生产初期，计算井底流压与实际井底流压之间存在微小差别。原因在于X1井初期实际配产为13×104m3/d，低于计算方案配产(14×104m3/d)，造成计算结果低于实际结果，随气井配产提高并保持相对稳定，实际结果与计算结果符合程度变好。

4 参数敏感性分析

储层特征与井斜角是影响气井生产动态的主要因素[28]。根据矿场实际，在定产生产条件下，从应力敏感因数、井斜角、地层厚度等方面分析井底流压的影响规律，确定地层厚度与井斜角之间最佳的匹配关系。

4.1 应力敏感因数

不同应力敏感因数(α为0、0.5、1.0)时，规定最小井底流压为5.0 MPa，绘制井底流压随生产时间变化曲线(见图4)。由图4可见，在生产初期，由于采出气量较少，平均地层压力下降幅度较小，不同应力敏感因数时裂缝渗透率差值不大，因而各方案井底流压较为接近；随开采时间增加，采气量不断增大，平均地层压力下降幅度持续扩大，应力敏感因数越大，裂缝闭合愈严重，导致井底流压递减速率加快，因而各方案井底流压的差值不断增大。当α为1.0、生产时间为950 d时，井底流压达到设定的最小值而关井；在不考虑应力敏感因数(α=0)时，井底流压为20.0 MPa，远高于α为0.5时的井底流压(约为15.0 MPa)。

4.2 井斜角

不同井斜角θ时气井井底流压随时间变化曲线见图5。由图5可见，在生产初期与中期，各方案之间的井底流压递减速率较为接近；在生产后期，由于井斜角较小的气井井底流压快速降低，高井斜角与低井斜角气井井底流压差值剧烈增大。主要在于模型假设流量沿井筒均匀分布，井斜角越大，井筒与地层之间接触面积越大，在流量恒定条件下，生产压差越小，井底流压越高。由于不同井斜角的气井与地层接触面积的差值保持恒定，在生产初期与中期，各方案的井底流压的差值保持稳定；在生产后期，地层能量难以维持设定产量，导致井斜角较小的方案的井底流压快速降低，各方案之间井底流压的差值迅速增大。

图4 不同应力敏感因数时气井井底流压随生产时间变化曲线Fig.4 Bottom-hole pressure versus time under different stress-sensitive coefficients

图5 不同井斜角时气井井底流压随生产时间变化曲线Fig.5 Bottom-hole pressure versus time for different inclined angles

4.3 地层厚度

碳酸盐岩气藏非均质性强，同一层系不同位置地层厚度差异较大。保持井斜角恒定，绘制不同地层厚度h时气井井底流压随时间变化曲线(见图6)。由图6可见，由于地层厚度越大，井筒与地层接触面积越大，在产量恒定的条件下，生产压差越小，井底流压越高，呈某一时刻井底流压随地层厚度的增加而增大的变化趋势。地层厚度与某一时刻井底流压之间存在非线性关系，即随地层厚度的不断增大，井底流压增加量逐渐减小，表现为井底流压曲线相互接近。

由图5-6可见，对于某一厚度地层，井底流压随井斜角的减小而降低，但减少量不断减小，存在某一井斜角使井底流压保持在较高的水平(见图5)；当井斜角恒定时，井底流压随地层厚度增加而升高，但增加量逐渐减少，存在某一地层厚度使井底流压保持相对稳定(见图6)。为明确地层厚度与井斜角之间的变化关系，设定不同井斜角、地层厚度，绘制气井生产100 d后井底流压随地层厚度变化曲线(见图7)。

由图7可见，对于某一特定井斜角气井，井底流压随地层厚度的增加而增大，初始上升速率较快，后期较为平缓，存在最优的地层厚度与之匹配，且井斜角越大，与之匹配的最优地层厚度越小。反之，当气藏地层厚度已知，在某一生产时刻或时间段内，必存在唯一的井斜角使井底流压维持在相对稳定的水平。

图6 不同地层厚度时气井井底流压随生产时间变化曲线Fig.6 Bottom-hole pressure versus time for different formation thickness

图7 不同井斜角时气井生产100 d后井底流压随地层厚度变化曲线Fig.7 Correlation chart between formation thickness and bottom-hole pressure for different inclined angles on the 100th day

5 结论

(1)考虑储层地质特征与应力敏感性，建立碳酸盐岩气藏三重孔隙介质封闭边界斜井流动数学模型，通过与矿场实际生产数据的对比，验证模型的有效性，为生产动态分析和预测奠定基础。

(2)储层应力敏感效应随生产时间增加而影响程度愈发显著，大幅缩短气井的稳产时间；在生产初期与中期，不同井斜角时井底流压有近似相同的递减速率，在生产后期井底流压差值迅速扩大，井斜角、地层厚度越大，气井稳产时间越长。

(3)对于某一厚度储层，存在唯一最优的井斜角，在某一生产时刻或时间段内井底流压保持相对稳定，可以为不同厚度碳酸盐岩储层井斜角的设计提供参考。

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