联合双边滤波器和小波阈值收缩去噪算法研究

刘尚旺， 郜刘阳， 王 博

(1. 河南师范大学计算机与信息工程学院，新乡 453007； 2.“智慧商务与物联网技术”河南省工程实验室，新乡 453007)

0 引言

图像在采集、传输和存储过程中不可避免会受到各种噪声影响，从而造成图像质量下降，影响其后续处理[1]。因此，对图像进行预处理，特别是去噪处理是必不可少的步骤[2]。从图像处理角度划分，图像去噪算法分为空间域和频率域去噪算法[3]。常见的空间域图像去噪算法有非局部均值滤波(non-local mean filter，NLM)和双边滤波器(bilateral filtering，BF)等。2005年，Buades等[4]提出了NLM算法，并利用图像包含像素的局部邻域信息进行图像平滑，达到去噪效果； 谭茹等[5]采用最小二乘拟合法建立最佳滤波器参数值的预测函数，用来去除噪声； 黄智等[6]采用基于图像结构感知的块奇异值分解方法定义邻域间相似度，以降低损坏图像信息程度； 周兵等[7]通过双线性插值法处理未选中像素的权重，进行去噪优化。2010年，Tomasi等[8]提出了BF算法，结合像素点的空间位置和像素点的灰度值相似性进行空间域滤波； 杨学志等[9]结合区域分割通过对区域内与区域间进行不同模式的双边滤波，尽可能地保留图像信息； Ramesh[10]通过引进中值滤波器对噪声进行检测分类，优化去噪结果； 袁华等[11]将噪声细分为大尺度和小尺度噪声，结合统计滤波和半径滤波来进行大尺度噪声去除，以保留图像细节信息。

频率域去噪则是将图像从空间域变换到频率域，通过频谱分析达到去除噪声的目的[4]。常见的频率域去噪算法有偏微分方程(partial differential equation，PDE)和小波阈值收缩方法。1987年，Kass首次提出将PDE应用到图像处理中，通过处理图像底层信息，以取得较好的去噪效果[12]； 随着PDE算法的广泛应用，Halim等[13]采用有限差分方法对高斯噪声进行不同程度的模拟，以达到不同图层上的去噪； 芦碧波等[14]在迭代过程中根据局部统计量检测斑点，引入松弛中值滤波进行斑点抑制，取得了较好的图像去噪效果。1998年，Donoho和Johnstone[15]提出小波阈值收缩方法，小波收缩阈值可以在均方差意义上获得最优解，通过对阈值的选择来使得图像更为平滑，从而进行图像去噪； 王蓓等[16]进一步改进阈值函数，利用小波基函数进行小波重构，从而达到图像去噪的目的； Zhao等[17]基于优化小波变换的阈值，克服去噪中的不连续性，提高去噪效果； 胡然等[18]利用局部像素主成分分析算法，抑制了三维块匹配算法中的小波阈值在去噪结果中产生的画面不平滑问题，扩展了小波在三维图像上的应用。

但是，空间域去噪算法只能在一定程度上消除图像噪声，且对图像纹理信息损坏严重； 而频率域去噪算法虽能够对图像纹理细节进行有效保护，然而去噪后的图像边缘信息会受到损失，去噪效果难以令人满意[19]。针对上述问题，本文提出一种联合BF和小波阈值收缩的图像去噪算法。在空间域中，与NLM算法相比，BF算法能够利用图像中的邻近区像素值保持较好的图像边缘信息； 在频率域中，与计算复杂的PDE算法相比，小波阈值收缩方法使用短时傅里叶变换(short time fourier transform，STFT)[20]，相对简单，同时还可以保留图像纹理细节。故将2种滤波去噪算法相结合，在去除图像噪声的同时，能够提高去噪图像的整体质量。

1 相关理论

设零均值加性高斯噪声图像模型为

g(a,b)=f(a,b)+n(a,b)，

(1)

式中：f(a,b)为不含噪声的图像；n(a,b)为噪声；g(a,b)为(a,b)位置上的像素值。有效地滤除噪声图像g(a,b)中含有的噪声n(a,b)，就需要重新构建不含噪声的图像f(a,b)。

BF算法是采用局部加权平均的方法获得重建后复原图像的像素值，即

(2)

w(i,j)=ws(i,j)wr(i,j)，

(3)

(4)

(5)

小波阈值收缩方法的基本原理是： 由于一般认为小波系数较大的信号是实际需要保留的信息，而系数较小的信号则被认为是噪声[7,12]，选择合适的阈值，将大于阈值的小波系数保留，小于阈值的小波系数直接设置为0，通过阈值映射函数得到最终估计系数； 再对得到的估计系数进行反变换，就实现了噪声滤除和图像重建功能。

简言之，采用BF算法在去除图像噪声的同时，可以较好地保留图像边缘信息。而小波阈值收缩方法在抵制噪声的同时，能够将图像纹理信息保存下来。联合这2种算法，可在有效去除噪声的同时，很大程度上保留图像边缘和纹理细节信息。

2 联合BF和小波阈值收缩图像去噪

针对含有噪声的图像，首先选择使用BF算法，将图像分成2部分，即高对比度层和低对比度层[3,21]； 然后针对高对比度层在空间域采用BF算法对图像去噪，而低对比度层在频率域采用小波阈值收缩方法去噪，能够在去噪的同时将图像纹理信息保留； 最后融合高、低对比度去噪图像为一整幅图像，从而达到图像去噪和保留图像细节信息的双重目的。本文算法流程如图1所示。

图1 本文算法流程

2.1 图像分层

对含噪声图像采用BF算法进行图像分层，并分别采用BF算法和小波阈值收缩方法去除高对比度层和低对比度层的噪声。故原始图像x可以近似的由2个去噪层总和组成，即

x=s+z，

(6)

式中s和z分别表示高对比度层和低对比度层。

但是，上述过程只是对图像单个振幅波段的图像进行去噪。由于BF算法可以对信号中大振幅进行保护，而小波阈值收缩方法对信号的幅度丢失较小。为了达到对整幅噪声图像去噪，保证信息的相对完整，通过遍历所有含噪声的振幅值，从大到小依次对图像去噪，可以降低分层过程的信息损失。

2.2 高对比度图像去噪

(7)

(8)

(9)

(a) 原图 (b) BF算法去噪结果

图2BF算法去噪效果

Fig.2BFdenoising

从图2可以看出，使用BF算法对图像去噪能够较好地保留图像边缘，但是该算法在保留图像边缘高对比度信息的同时会丢弃图像内部的纹理信息。

2.3 低对比度层图像去噪

在频率域，对要处理的低对比度图层使用小波阈值收缩方法获得低对比度信号。具体步骤如下： 首先，对实际信号通过小波基函数进行小波分解，选择小波并确定分解层次n，噪声通常包含在高频中； 然后，对小波分解的高频系数进行阈值量化处理； 最后，根据小波分解的第n层低频系数和经过量化后的1～n层高频系数进行小波重构，达到消除噪声的目的。

此方法适合局部内核形状的多边形相似区域。然而相比BF算法，小波变换计算更简单更容易实现。故为了增强适应性，使用自适应形状的方法减去均值周围的信号，其余信号保持在平衡周围0的附近。但是为达到这种效果需要对小波基函数重新设置。Morlet小波是高斯包络下的复指数函数，因其具有良好的时频域特性[16]，被选为本文的小波基函数。为了避免在频率域滤波产生的相位失真，通过实部构造滤波器。在上述步骤中，本文的Morlet小波实部ψr(t)和傅里叶变换ψ(af)分别为

(10)

ψ(af)=e-π2fb(af-fc)2，

(11)

式中：fb为带宽参数；fc为中心频率；af为傅里叶变换尺度。

根据贝叶斯估计准则，阈值计算公式为

(12)

式中：δ′表示小波收缩阈值；σ2为图像噪声标准差；σx为广义分布的噪声标准差。

(13)

(14)

(15)

式中Nm为频率窗口中的像素数。最终结合式(10)—(11)，对比度zp,f为

(16)

小波阈值收缩去噪效果如图3所示。

图3 小波阈值收缩方法去噪效果

从图3可以看出，引入小波阈值收缩方法对图像去噪的同时能够将图像内部纹理信息较好保留，减小图像边缘信息的模糊。

2.4 联合高、低对比度图像去噪

(17)

(18)

式中:kp，f为收缩因子;rf为小波收缩参数，即为式(15)中的频率。

3 实验结果与分析

实验平台配置为： 操作系统为Windows 7； CPU Inter(R)Core(TM)i5-3470M 3.20 GHz； RAM 4 G； 软件安装环境为Matlab2012。为了说明本文算法的图像去噪效果，选择与NLM，BF，小波阈值收缩及PDE算法进行定性和定量实验分析。

3.1 定性实验结果与分析

采用空间分辨率为512像素×512像素的6幅原始灰度图像(①Lena，②Boat，③Barbara，④Tiffany，⑤Peppers和⑥Man)进行对比实验[23]。由于许多实际噪声可以近似为高斯分布的白噪声，在原始图像中叠加高斯白噪声(σ=0.01)后，相关算法的图像去噪结果如图4所示。

(a) 原图

(b) 噪声图像

(c) NLM

(d) BF

(e) 小波阈值收缩

(f) PDE

(g) 本文算法

图45种算法去噪结果

Fig.4Resultsoffivedenoisingalgorithms

从图4可以看出，采用NLM算法，图像的边缘特征和内部纹理细节均出现模糊现象，去噪效果不好； 采用BF算法，对图像边缘信息保存较好，如图像①帽子及上面的羽毛边缘、图像②船的轮廓及图像③的整体轮廓都比较清晰，但是在头发、水的纹理及面部信息等处存在模糊现象； 采用小波阈值收缩方法，图像①帽子上的羽毛边缘模糊，图像②船的轮廓不清晰及图像③头巾边缘模糊等； 采用PDE算法，对图像局部特征的时频域表示能力较差，而图像局部边缘特征、噪声基本分布在高频区域，因此遇到凹陷边缘或噪声时，部分信息保存不完整，易出现模糊现象； 本文算法不仅能够去除图像中所含有的噪声，而且去噪后的图像能够很好地保留原图像中的边缘信息和纹理细节特征，使去噪后的图像整体具有较高的视觉效果。

为了进一步分析各算法的去噪效果，可以根据去噪图像的边缘检测结果和图像的灰度直方图来直观地比较各去噪算法结果的边缘和灰度值变化。6幅图像的各相关算法去噪图像边缘检测结果分别如图5所示。

(a) 原图

(b) 噪声图像

(c) NLM

(d) BF

(e) 小波阈值收缩

(f) PDE

(g) 本文算法

图55种算法去噪后边缘检测

Fig.5Edgedetectionoffivedenoisingresults

从图5可以看出，与原始图像边缘特征相比，NLM算法的图像边缘比较模糊，例如帽子边缘、面部轮廓和头发边缘等； BF算法虽然图像边缘保存相对较好，但是以牺牲帽子和头发处的纹理信息为代价； 小波阈值收缩变换方法的边缘也出现模糊现象，特别是面部轮廓、帽子及羽毛的边缘信息； PDE算法的边缘仍都出现了边缘模糊，面部信息也出现丢失现象； 本文算法既能够有效保持原有图像的清晰边缘，又可以提高去噪图像的清晰度。

各相关算法灰度直方图如图6所示。

(a) 原图

(b) 噪声图像

(c) NLM

(d) BF

(e) 小波阈值收缩

(f) PDE

(g) 本文算法

图65种去噪算法去噪后灰度直方图

Fig.6Grayhistogramsoffivedenoisingresults

与图6(a)相比，采用前4种算法去噪后图像各像素点的灰度值变化比较大，而利用本文算法得到的图像像素点灰度值变化不明显，近似于原图。所以，本文提出的去噪算法优于其他算法。

3.2 定量实验结果与分析

为了定量分析图像去噪效果，利用峰值信噪比(peak signal to noise ratio，PSNR)[22]，进行对比试验。其表达式为

(19)

(20)

式中：f(i,j)为原始图像在(i,j)位置上的灰度值；MSE为均方误差(mean square error)[23]；h(i,j)为去噪图像在(i,j)位置上的灰度值；M×N为图像的尺寸大小。

通过计算，6幅图像在不同等级噪声情况下，各算法PSNR值统计结果如表1所示。

表1 不同等级高斯噪声下各种算法的PSNR值Tab.1 PSNR in different levels Gaussian noise (dB)

从表1中可以看出，图像①在不同高斯噪声等级下，本文算法的PSNR平均值为41.58； 图像②在不同噪声等级下，本文算法的PSNR平均值为40.96，6幅影像本文算法得到的PSNR平均值为40.99，比其他算法结果更好，去噪效果最佳。

为了进一步检验本文算法的有效性和鲁棒性，在对测试图像分别添加不同噪声密度的椒盐噪声情况下，对各相关算法的PSNR值进行分析，结果如表2所示。

表2 不同椒盐噪声密度下各种算法的PSNR值Tab.2 PSNR in different densities impulse noise (dB)

由表2可以看出，虽然随着椒盐噪声密度逐渐加大，去噪效果越来越差，但是本文算法的平均PSNR值依然比其他算法要高。主要原因在于，椒盐噪声与其周围的像素点对比度较大，故导致了较大的梯度值，使其与边缘点容易混淆，这给图像分析尤其是边缘检测带来很大的困难。但相比其他4种算法，本文算法从空间域和频率域出发，将2种去噪效果融合，提高去噪后图像的质量，确保了图像信息的完整性。

3.3 遥感图像测试

为了更深入地验证各算法效果，随机从风云卫星遥感数据网[24]中选取5幅空间分辨率为512像素×512像素遥感图像进行去噪。由于通过灰度图进行算法性能测试能更清楚地比较各算法的优劣[25]，故将相关图像进行了灰度变换。5种算法的去噪结果如图7所示。

(a) 原图

(b) NLM

(c) BF

(d) 小波阈值收缩

(e) PDE

(f) 本文算法

图7各去噪算法去噪后的结果图像

Fig.7Resultsofdifferentdenoisingalgorithms

由图7可以看出，NLM算法边缘和内部纹理细节变得模糊，BF算法整体模糊但边缘相对清晰； 小波阈值收缩方法边缘部分模糊； PDE算法的边缘信息和内容细节纹理也均出现模糊现象； 而本文算法不仅能够去除图像中所含有的噪声，而且图像边缘清晰，模糊度低，相对去噪效果较好。

此外，对遥感图像添加均值为0，方差分别为0.2，0.4，0.6，0.8和1的高斯噪声，采用遥感图像PSNR[22]和边缘保持数(edge preserve index，EPI)[2,25]作为评价标准，称平均衡量指标。2个指数值越高，表示算法去噪效果越好。各种算法的平均衡量指标结果如表3所示。

表3 不同等级高斯噪声下各种算法的PSNR与EPI值Tab.3 PSNR and EPI in different levels Gaussian noise (dB)

从表3可以看出，随着添加噪声的方差越来越大，去噪后图像的质量也越来越差，但是和其他算法相比，在噪声方差由小变大的过程中，本文算法去噪后的PSNR和EPI值均还保持较高的数值，说明去噪后图像的细节信息保存较好。另外，为了继续验证本文算法的鲁棒性，对遥感图像添加噪声密度为0.1，0.3，0.5，0.7和0.9的椒盐噪声。各种算法的平均衡量指标结果，如表4所示。

表4不同椒盐噪声密度下各种算法的PSNR与EPI值

Tab.4PSNRandEPIindifferentdensitiesimpulsenoise(dB)

指标算法椒盐噪声密度0.10.30.50.70.9PSNRNLM16.3715.2814.7312.3811.57BF20.3519.4718.3817.5616.39小波阈值收缩13.6412.7211.5310.209.48PDE21.4620.5219.3718.0417.21本文算法24.5822.8822.3421.5420.37EPINLM0.2340.2050.1940.1870.172BF0.3830.3720.3600.3450.321小波阈值收缩0.1720.1580.1460.1350.120PDE0.4130.3920.3810.3650.334本文算法0.5310.5170.5020.4890.473

由表4可以看出，随着椒盐噪声密度变大，去噪效果也逐渐下降。但和其他算法相比，本文算法的PSNR和EPI值仍较高，说明本文算法的遥感图像去噪效果较好，而且去噪后细节信息仍保存较好。究其原因在于，本文算法中使用空间域中的BF算法可以保持较好的图像边缘信息，而使用频率域中的小波阈值收缩方法能保留图像纹理细节，因此在去除图像噪声的同时，提高了去噪后的图像整体质量。

4 结论与展望

为提高图像去噪后信息的完整性，在前人研究的基础上，提出了一种联合双边滤波器和小波阈值收缩的图像去噪算法。分别在标准数据和遥感图像上均取得了较好的去噪效果。在去噪的过程中，BF算法很难准确辨析图像平滑区域及细节丰富区域的纹理信息，不能较好地保留纹理细节信息，结合小波阈值收缩方法可以在去噪的同时，保留原始图像的细节信息，通过阈值设置最大程度地保证去噪后图像的质量，降低边缘和纹理细节信息的损失。但是本文仅进行了二维图像去噪研究，在阈值设置上也还需要更准确的估计方法，后续将会不断改进和完善，并将其扩展到三维图像的去噪研究中。

参考文献(References)：

[1] Knaus C,Zwicker M.Dual-domain image denoising[C]//Proceedings of 20th IEEE International Conference on Image Processing.Melbourne:IEEE,2013:440-444.

[2] 张 倩.基于双重离散小波变换的遥感图像去噪算法[J].国土资源遥感,2015,27(4):14-20.doi:10.6046/gtzyyg.2015.04.03.

Zhang Q.Remote sensing image de-noising algorithm based on double discrete wavelet transform[J].Remote Sensing for Land and Resources,2015,27(4):14-20.doi:10.6046/gtzyyg.2015.04.03.

[3] Huang Q G,Hao B Y,Chang S.Adaptive digital ridgelet transform and its application in image denoising[J].Digital Signal Processing,2016,52:45-54.

[4] Buades A,Coll B,Morel J M.A non-local algorithm for image denoising[C]//Proceedings of 2005 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition.San Diego:IEEE,2005:60-65.

[5] 谭 茹,李婷婷,李伟伟,等.图像去噪的自适应非局部均值滤波方法[J].小型微型计算机系统,2014,35(1):137-141.

Tan R,Li T T,Li W W,et al.Adaptive non-local means filtering method for image denoising[J].Journal of Chinese Computer Systems,2014,35(1):137-141.

[6] 黄 智,付兴武,刘万军.混合相似性权重的非局部均值去噪算法[J].计算机应用,2016,36(2):556-562.

Huang Z,Fu X W,Liu W J.Non-local means denoising algorithm with hybrid similarity weight[J].Journal of Computer Applications,2016,36(2):556-562.

[7] 周 兵,韩媛媛,徐明亮,等.快速非局部均值图像去噪算法[J].计算机辅助设计与图形学学报,2016,28(8):1260-1268.

Zhou B,Han Y Y,Xu M L,et al.A fast non-local means image denoising algorithm[J].Journal of Computer-Aided Design and Computer Graphics,2016,28(8):1260-1268.

[8] Tomasi C,Manduchi R.Bilateral filtering for gray and color images[C]//Proceedings of the 6th International Conference on Computer Vision. Bombay:IEEE,2010:839-846.

[9] 杨学志,徐 勇,方 静,等.结合区域分割和双边滤波的图像去噪新算法[J].中国图象图形学报,2012,17(1):40-48.

Yang X Z,Xu Y,Fang J,et al.New filter based on region segmentation and bilateral filtering[J].Journal of Image and Graphics,2012,17(1):40-48.

[10] Ramesh S.An efficient approach for removal of universal noise using adaptive based switching bilateral filter[C]//Proceedings of 2012 International Conference on Advances in Engineering,Science and Management.Nagapattinam:IEEE,2012:462-467.

[11] 袁 华,庞建铿,莫建文.基于噪声分类的双边滤波点云去噪算法[J].计算机应用,2015,35(8):2305-2310.

Yuan H,Pang J K,Mo J W.Denoising algorithm for bilateral filtered point cloud based on noise classification[J].Journal of Computer Applications,2015,35(8):2305-2310.

[12] 杨 燕.基于变分偏微分方程的图像去噪及其快速算法[D].南京:南京邮电大学,2015.

Yang Y.Image Denoising Based on Calculus of Variations and Partial Differential Equations,and Its Fast Algorithm[D].Nanjing: Nanjing University of Posts and Telecommunications,2015.

[13] Halim S A,Ibrahim A,Sulong T N N T,et al.Fourth-order partial differential equation noise removal on welding images[J].AIP Conference Proceedings,2015,1682(1):020050.

[14] 芦碧波,李 阳,王永茂.结合松弛中值滤波的高阶彩色图像迭代去噪算法[J].应用光学,2016,37(3):366-371.

Lu B B,Li Y,Wang Y M.Color image denoising using high order iterating model by combining relaxed median filter[J].Journal of Applied Optics,2016,37(3):366-371.

[15] Donoho D L,Johnstone I M.Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage[J].Biometrika,1994,81(3):425-455.

[16] 王 蓓,张根耀,李 智,等.基于新阈值函数的小波阈值去噪算法[J].计算机应用,2014,34(5):1499-1502.

Wang B,Zhang G Y,Li Z,et al.Wavelet threshold denoising algorithm based on new threshold function[J].Journal of Computer Applications,2014,34(5):1499-1502.

[17] Zhao R M,Cui H M.Improved threshold denoising method based on wavelet transform[C]//Proceedings of the 7th International Conference on Modelling,Identification and Control.Sousse:IEEE,2015:1-4.

[18] 胡 然,郭成城,杨剑锋.基于小波阈值和主成分分析的视频去噪算法[J].计算机科学,2016,43(4):290-293.

Hu R,Guo C C,Yang J F.Video denoising algorithm based on wavelet threshold and PCA[J].Computer Science,2016,43(4):290-293.

[19] Zhang S,Jing H J.Fast log-gabor-based nonlocal means image denoising methods[C]//Proceedings of 2014 IEEE International Conference on Image Processing.Paris:IEEE,2014:2724-2728.

[20] 魏 宁,杨元琴,董方敏,等.多模图像交叉双域滤波算法[J].中国图象图形学报,2016,21(6):691-697.

Wei N,Yang Y Q,Dong F M,et al.Cross dual-domain filter for denoising multi-mode images[J].Journal of Image and Graphics,2016,21(6):691-697.

[21] Lexin A,Nadler B,Durand F,et al.Patch complexity,finite pixel correlations and optimal denoising[C]//Proceedings of the 12th European Conference on Computer Vision.Florence:Springer,2012:73-86.

[22] Chen Q,Montesinos P,Sun Q S,et al.Adaptive total variation denoising based on difference curvature[J].Image and Vision Computing,2010,28(3):298-306.

[23] Liu J,Wang Y H,Su K J,et al.Image denoising with multidirectional shrinkage in directionlet domain[J].Signal Processing,2016,125:64-78.

[24] 张 凡.基于改进NAS-RIF算法的遥感噪声图像自适应复原[J].国土资源遥感,2015,27(2):105-111.doi:10.6046/gtzyyg.2015.02.17.

Zhang F.Self-adaptive restoration for remote sensing noise images based on improved NAS-RIF algorithm[J].Remote Sensing for Land and Resources,2015,27(2):105-111.doi:10.6046/gtzyyg.2015.02.17.

[25] 吴一全,吴 超.结合NSCT和KPCA的高光谱遥感图像去噪[J].遥感学报,2012,16(3):533-544.

Wu Y Q,Wu C.Denoising of hyperspectral remote sensing images using NSCT and KPCA[J].Journal of Remote Sensing,2012,16(3):533-544.