基于kriging函数的连续刚构桥结构优化设计

邹 翔

(中铁第四勘察设计院集团有限公司 武汉 430063)

桥梁的设计参数对结构受力性能有着直接的影响[1]，且会影响结构的后期运行管理及维护加固。对于结构的设计参数，先行方法多为经验公式或参考同类桥梁等方法。已有的相关文献中，往往是对各个设计变量单独地进行分析，缺乏对各变量之间相互影响的研究[2]。实际上，一个优化目标往往与几个变量有关，各设计变量按照单一分析结果取得最优值时，优化目标往往并不是最优的，这必然会影响优化的效果。

在进行结构优化设计时，往往需要多次调用有限元模型，而大型结构的有限元模型计算需要花费大量时间，从而影响优化速度。代理模型作为有限元模型的拟合模型，具有计算速度快，参数关系明晰的特点。在构建完代理模型后，每次只需要调用代理模型即可完成优化结果的计算，极大地减少了优化时间。在建立代理模型的过程中需要在设计变量的可行域内抽取样本用于构建kriging函数，样本抽取的好坏直接影响kriging函数对有限元模型模拟的精度，因此，本文采用在空间抽样中广度较好的拉丁超立方抽样作为抽样方法保证kriging函数的精度。

1 拉丁超立方抽样和kriging函数

1.1 拉丁超立方抽样

(k=1，2，…，m)

(1)

这样就得到了拉丁超立方抽样样本。写成向量的表达形式为

(2)

1.2 kriging代理模型

kriging函数[3]通过参数的确定部分和非参数的随机过程对实际结构有限元模型进行模拟。Kriging又称空间局部插值法[4]，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是代理模型拟合的主要内容。其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计。无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小。

首先假设区域化变量满足二阶平稳假设和本征假设，其数学期望为m，协方差函数及变异函数存在。即

(3)

假设在待估计点(x)的临域内共有n个实测点，即x1，x2，…，xn，其样本值为Z(xi)。那么，普通kriging的插值公式为

(4)

2 人工蜂群优化算法

人工蜂群算法通过模拟自然界蜂群寻找蜜源的行为来完成优化过程[5-6]。标准的ABC算法通过模拟实际蜜蜂的采蜜机制将人工蜂群分为3类:采蜜蜂、观察蜂和侦察蜂。整个蜂群的目标是寻找花蜜量最大的蜜源[7]。在标准的ABC算法中，采蜜蜂利用先前的蜜源信息寻找新的蜜源并与观察蜂分享蜜源信息；观察蜂在蜂房中等待并依据采蜜蜂分享的信息寻找新的蜜源；侦查蜂的任务是寻找一个新的有价值的蜜源，它们在蜂房附近随机地寻找蜜源。

蜂群算法通过以下步骤进行实现：

1) 对蜂群进行随机初始化。

2) 根据初始化的蜂群，按照适应度选择雇佣蜂。

3) 将采蜜蜂与蜜源一一对应，根据式(1)更新蜜源信息，同时确定蜜源的花蜜量；观察蜂根据采蜜蜂所提供的信息采用一定的选择策略选择蜜源，根据式(5)更新蜜源信息，同时确定蜜源的花蜜量；

(5)

4) 确定侦查蜂，并根据式(6)寻找新的蜜源。

(6)

5) 记忆迄今为止最好的蜜源。

6) 判断终止条件是否成立。

3 工程算例

3.1 项目概况

跨G207国道特大桥全长约1 839 m，桥梁中心里程为DK291+605。在DK291+634-DK291+855处跨越G207国道，公路与线路大里程夹角为69°。主桥3跨连续梁跨径组合为(78 m+140 m+78 m)，顶板宽度为8 m，箱梁根部梁高8.5 m，跨中及边跨合龙段梁高为3 m，箱梁底板下缘按1.8次抛物线变化。主梁悬臂长度为1.75 m，翼缘外侧厚15 cm，根部为60 cm，采用折线变化。箱梁采用C55混凝土。4、5号桥墩采用钢筋混凝土双肢变截面矩形实心墩，与主梁固结，单肢桥墩顺桥向尺寸为2.5 m，横桥向墩顶尺寸为6.5 m，并以1∶100的斜率往下放坡，3号、6号桥墩采用圆端形实体墩，上接盖梁，墩底承台横桥向、顺桥向均为6.6 m，厚3.0 m。跨G207国道特大桥主桥桥型布置如图1所示。

图1 跨G207国道特大桥主桥布置图(单位：m)

本文优化设计的目标是使该连续刚构桥在成桥状态时恒载作用下结构的弯曲应变能最小。结构弯曲应变能表示结构的全桥受力情况，受力分布均匀的结构具有更小的弯曲应变能。

3.2 目标函数及约束条件

以主梁的弯曲应变能作为目标函数，主梁的弯曲应变能可以作为判别指标来评价主梁弯矩平均分布，结构弯曲应变能的一般表达式为

(7)

对于离散的杆系结构，这个表达式可以写成

(8)

式中：m为主梁单元数：Li和(EI)i分别为主梁第i单元的长度和抗弯刚度;MiL和MiR分别为主梁第i单元的左端弯矩和右端弯矩。主梁弯曲应变能指标Ub综合考虑了全部杆件端弯矩及截面抗弯刚度的影响，并不局限于弯矩局部极值，反映了整个主梁弯矩分布的均匀性。

根据文献资料，选取边中跨比、梁底抛物线幂次、桥墩顺桥向的尺寸和薄壁双墩净距这4个对优化目标影响较大的参数作为设计变量。在本工程实际中，这4个变量的取值依次是边中跨比为0.557，梁底抛物线幂次为1.8，主跨与根部梁高比为15.89，双肢净距为3 m。根据文献并结合本文工程实际。各设计变量的限值见表1。

表1 设计变量取值

施工期间的应力约束：

运营期间的应力约束：

σst≤0.8σpc

σtp≤0.5ftk

使用期间挠度约束：

图2是该3跨预应力混凝土连续刚构桥的全桥模型。采用超立方法抽取50个样本点，用miads Civil分别建立每组试验的模型，采用MATLAB作为主计算程序，调用midas模型计算每组设计参数的目标响应值。

图2 全桥midas模型

采用ABC算法进行寻优求解，蜂群总的数量为1 000，最大迭代数100，雇佣蜂所占比例为50%。迭代终止条件为迭代次数达到上限。

3.3 优化结果及分析

目标函数迭代过程见图3，经过优化，目标函数值有明显的下降，并且计算速度较快，在前几次迭代中目标函数即有明显下降。经过优化，在边中跨比为0.549，梁底抛物线幂次为2.0，主跨与根部梁高比值为18.43，双肢净距为4.50 m时，目标函数值即是全桥弯曲应变能达到最小。

图3 目标函数迭代过程图

4 结论

1) 代理模型作为有限元模型的拟合模型可以较大程度减少优化时间，提高优化效率。

2) 人工蜂群算法作为优化算法，具有收敛速度快的特点，并且具有编程简单的优势。

3) 对于跨G207国道特大桥，合理的设计参数是边中跨比为0.549，梁底抛物线幂次为2.0，主跨与根部梁高比值为18.43，双肢净距为4.50 m。可为同类工程设计提供参考依据。

[1] 唐海红.基于遗传算法的连续梁桥优化设计方法与应用研究[D].哈尔滨:哈尔滨工业大学,2009.

[2] 王军.波形钢腹板PC组合箱梁桥截面优化设计和剪力连接件研究[D].西安:长安大学,2013.

[3] 刘俊,宋文萍,韩忠华,等.梯度增强的Kriging模型与Kriging模型在优化设计中的比较研究[J].西北工业大学学报,2015，33(5):819-826.

[4] 何欢,朱广荣,何成,等.基于Kriging模型的结构耐撞性优化[J].南京航空航天大学学报,2014(2):297-303.

[5] 秦全德,程适,李丽,等.人工蜂群算法研究综述[J].智能系统学报,2014,9(2):127-135.

[6] 徐卫滨.无选择策略的改进蜜蜂群算法[J].太原科技大学学报,2011, 32(5):343-346.

[7] 肖永豪.蜂群算法及其在图像处理中的应用研究[D].广州:华南理工大学，2011.