中心主子阵约束下广义反中心对称矩阵的二次特征值反问题

郭丽杰，韩明花，周 硕

(东北电力大学理学院，吉林吉林132012)

在工程技术，特别是结构动力模型修正技术领域经常遇到与二次特征值相反的问题，我们称为二次特征值反问题［1～4］．结构动力模型修正技术［5～6］利用实测模型数据对有限元方法所得的质量矩阵M～，阻尼矩阵C～和刚度矩阵K～进行修正，使修正的质量矩阵M，阻尼矩阵C和刚度矩阵K满足理论上的谱约束条件即并且矩阵［M，C，K］最佳逼近矩阵矩阵扩充问题即为子矩阵约束下的矩阵反问题，研究矩阵扩充问题对矩阵理论及其实际应用具有重要意义［7～9］;本文利用矩阵对的商奇异值分解［10］方法，研究中心主子阵约束下矩阵方程MXΛ2+CXΛ+KX=0的广义反中心对称矩阵解及其最佳逼近问题．

令Rn×m表示所有n×m阶实矩阵集合;Ik表示k阶单位阵;用AT、R(A)、N(A)分别表示矩阵A的转置矩阵、列空间、零空间;对矩阵 A=(aij) ∈ Rs×t，B=(bij)s×t∈ Rs×t，A*B=(aijbij)s×t表示矩阵 A 与 B 的Hadamard积;Rn×m中矩阵A与B的内积定义为(A，B)=tr(BTA)，由此内积导出的范数为则此范数为矩阵A的Frobenius范数，且Rn×m构成一个完备的内积空间．

定义1 P∈Rn×n称为对称正交矩阵，如果它满足:(1)P=PT，(2)P2=In．

定义2 设P∈Rn×n，Q∈Rm×m为对称正交矩阵，若A∈Rn×m满足PAQ=A，则称A为广义中心对称矩阵;若A∈Rn×m满足PAQ=－A，则称A为广义反中心对称矩阵．

研究如下两类问题:

问题1 给定X=［x1，x2，…，xs］∈Rm×s，Λ =diag(λ1，λ2，…，λs) ∈Rs×s，M0，C0，K0∈Rq×q和对称正交矩阵 P ∈ Rn×n，Q ∈ Rm×m，求广义反中心对称矩阵 M，C，K ∈ Rn×m

使得

其中:M0，C0，K0分别是矩阵M，C，K的q阶中心主子阵(n，m与q具有相同的奇偶性)．

其中:SMCK是问题1的解集．

问题 2 给定 M*，C*，K*∈ Rn×m，求 M^，C^，K^∈ SMCK，使得

1 问题1的求解

引理1 设P∈Rn×n，Q∈Rm×m为对称正交矩阵，则存在n阶正交阵U和m阶正交阵V，使得P，Q的谱分解分别为

引理2 设A∈Rn×m，则A为广义反中心对称矩阵当且仅当

其中:A1∈ Rt×(m－k)，A2∈ R(n－t)×kU ∈ Rn×n，V ∈ Rm×m为正交矩阵．

其中:Q0∈ Rn×(3m－r)是任意的矩阵．

其中:Σi()为ri阶正定对角矩阵∈ OR3(m－k)×3(m－k)，U21∈ R3(m－k)×r2，Vi∈ ORs×s，则矩阵方程 MXΛ2+CXΛ +KX=0 有广义反中心对称解M，C，K ∈ Rn×m，且其通解为

其中:Q1∈ R(n－t)×(3k－r1)，Q2∈ Rt×(3(m－k)－r2)是任意矩阵，

记(0，Iq，0)U=(D1，D2)，其中:D1∈ Rq×t，D2∈ Rq×(n－t)．

设D1，D2的商奇异值分解分别为

其中:E ∈ Rq×q可逆矩阵，R ∈ Rt×t，F ∈ R(n－t)×(n－t)均为正交阵，

其中:S=diag(α1，α2，…，αs1)，αi＞ 0，(i=1，2，…．s1)，s1=rank(D1)+rank(D2) － l1，l1=rank(D1，D2)，t1=l1－ rank(D2)，0，O1，O2为相应阶数的零矩阵．

设P1U12，P2U22的商奇异值分解为

其中:G ∈ R3q×3q可逆矩阵，H ∈ R(3k－r1)×(3k－r1)，K ∈ R(3(m－k)－r2)×(3(m－k)－r2)均为正交阵，

其中:C=diag(β1，β2，…，βs2)，βi＞ 0，(i=1，2，…．s2)，l2=rank(P1U12，P2U22)，s2=rank(P1U12)+rank(P2U22) － l2，t2=l2－ rank(P2U22)，0，O3，O4为相应阶数的零矩阵．

设

其中:A11∈ Rt1×t2，A22∈ Cs1×s2，A33∈ R(l1－t1－s1)×(l2－t2－s2)，A44∈ R(q－l1)×(3q－l2)．由引理 4 及矩阵对的商奇异值分解可得如下结论．

定理1 给定X=［x1，x2，…，xs］∈Rm×s，Λ =diag(λ1，λ2，…，λs) ∈Rs×s，M0，C0，K0∈Rq×q和对称正交矩阵P∈Rn×n，Q∈Rm×m，问题1有解的充分必要条件是

且一般解的形式为

其中:U ∈ Rn×n，V ∈ Rm×m，R ∈ Rt×t，F ∈ R(n－t)×(n－t)，K ∈ R(3(m－k)－r2)×(3(m－k)－r2)，H ∈ R(3k－r1)×(3k－r1)为正交矩阵，U12∈ R3k×(3k－r1)，U22∈ R3(m－k)×(3(m－k)－r2)为列正交矩阵如公式(7)，

2 问题2的求解

若问题1有广义反中心对称解，则SMCK为一闭凸集，那么对任意给定矩阵M*，C*，K*∈Rn×m，在SMCK中存在唯一最佳逼近解［M^，C^，K^］．

引理 5 给定 E，F ∈ Cn×n，Λ1=diag(α1，α2，…，αn)，Λ2=diag(β1，β2，…，βn)，则 G － E2+Λ1GΛ2－ F2=min有唯一解G^∈Cn×n，且G^=Φ*(E+Λ1FΛ2)，其中:Φ =(φij)∈Rn×n，φij= 1 1+αi

2βj2

定理 2 对给定 X=［x1，x2，…，xs］∈ Rm×s，Λ =diag(λ1，λ2，…，λs) ∈ Rs×s，和对称正交矩阵 P ∈Rn×n，Q∈Rm×m，M*，C*，K*∈Rn×m，问题1的解集由公式(15) 给出，则问题2有唯一最佳逼近解M^，C^，K^∈SMCK，且可以表示为

证明 由定理1及引理5，可得此定理的证明．

［1］ 周树荃，戴华．代数特征值反问题［M］．郑州:河南科学技术出版社，1991．

［2］ 郭丽杰，周硕．二次特征值反问题的对称次反对称解及其最佳逼近［J］．吉林大学学报:理学版，2009，47(6):1185－1190．

［3］ 周硕，白媛．一类二次特征值反问题及其最佳逼近［J］．东北电力大学学报，2017，37(5):96－101．

［4］ 吕晓寰，程宏伟，方彬彬，周硕．基于商奇异值分解的一类二次特征值反问题［J］．东北电力大学学报，2015，35(1):88－92．

［5］ 袁永新，戴华．用振动测量数据最优修正质量矩阵［J］．振动与冲击，2006，25(3):14－18．

［6］ 袁永新，戴华．用振动测量数据最优修正振型矩阵与质量矩阵［J］．工程数学学报，2007，24(4):631－638．

［7］ 蒋家尚，袁永新．结构动力模型修正中的一类矩阵反问题［J］．南京大学学报数学半年刊，2007，24(1):116－121．

［8］ 桂冰，戴华．一类二次特征值反问题的中心对称解及其最佳逼近［J］．高等学校计算数学学报，2006，28(4):367－373．

［9］ 梁俊平，卢琳璋．二次特征值反问题的中心斜对称解及其最佳逼近［J］．福建师范大学学报:自然科学版，2006，22(3):10－14．

［10］ Delin Chu，Bart De Moor．On a variational formulation of the QSVD and the RSVD［J］．Linear Algebra and Its Applications，2000，311(1):61－78．