从一道幂级数展开的习题引发的教学反思

汤灿琴 杨晓春

【摘要】本文通过一道例题对函数幂级数展开的直接法和间接法进行比较，提出了教师在教学过程中应注意比较两种方法的微小区别。

【关键词】幂级数展开 皮亚诺型余项 拉格朗日型余项

【中图分类号】G642.1 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）12-0128-02

Reflections on Teaching Caused by an Exercise of Power Series Tang Canqin

Tang Canqin， Yang Xiaochun.（Mathematical Department， Dalian Maritime University， Liaoning Dalian 116026， China）

【Abstract】The function of power series expansion of direct and indirect methods through an example are compared in this paper， and then proposed teachers should pay attention to the difference between the two methods in the teaching process.

【Key words】Power series expansion；Piano remainder；Lagrange remainder

一、引言

幂级数是函数项级数的一种特殊情形，是数学分析中的重要概念之一，它作为基本内容被运用到复变函数、实变函数等后续课程当中。巧妙地应用幂级数展开及其相关性质，可以将实际应用中复杂问题简单化。实际上，工程中许多问题最后都归结为微分方程或积分方程的求解，而幂级数解法是解决这类方程问题的最有效的方法之一，幂级数展式的精确度对后续问题的研究也就产生了较大影响。因此幂级数展开是数学分析教学中着重讲授的一个重要内容[1]。

二、函数的泰勒展开

通常在介绍泰勒公式时，主讲教师会引导学生推出函数在处的泰勒展开式，即此时的幂级数展开。而由平移的性质，只须要求学生记住几个基本函数的麦克劳林级数（即函数在处的幂级数展开式），如等，并应用它们推出其他函数的麦克劳林公式[1-2]。下面是一个相关的课后习题。

例：求函数的阶泰勒公式。

情况1 按皮亚诺型余项展开

解法1 （直接法）

设函数，则 而

我们有从而

其中为的高阶无穷小量。

解法2（间接法）

因为，从而

情况2 按拉格朗日型余项展开

解法1 （直接法）

设函数，则而

我们有从而

其中介于与0之间。

解法2 （间接法）

因为

从而

其中介于与0之间。

在此类问题的教学过程中，相信有不少任课教师与笔者一样，通常指导学生按间接法展开，因为这种方法更为简单高效。通过上题的两种情形对比，我们会发现如果按皮亚诺型余项展开，无论是直接法或间接法，两种形式是完全一样。这是因为皮亚诺型余项是对余项的一种定性估计，它仅仅表示余项函数是的高阶无穷小量，用来刻画它的极限性质。若按拉格朗日型余项展开，细心的同学则会发现间接法和直接法展开后前面的泰勒公式是一致的，但余项却发生了些许变化，这可能是我们教学过程中容易忽视的一个问题。为了将两个余项区分开来，我们分别记其为和。我们知道拉格朗日型余项是对余项的定量分析，它从量的角度刻画泰勒公式余项函数的实际大小。根据泰勒公式的唯一性，我们令，即

解出，也就是说，选取合适的能使按间接法和直接法展开的余项变成统一形式。

三、结论

幂级数的直接展开与间接展开在严格意义下是有些许差别的。教师在教学过程中，尤其是对数学类专业学生授课过程中，注意对此加以简单比较分析，能更有效地处理近似计算中精确度的相关问题，培养提高学生严密的逻辑思維，增强学生全面分析问题的能力。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系主编. 数学分析. 高等教育出版社. 2012.

[2]同济大学应用数学系主编. 高等数学. 高等教育出版社. 2014.

基金项目：连海事大学教改项目2016Z09和中国交通教育研究会教育科学研究课题（交教研1602-36）资助。

作者简介：汤灿琴（1973-），女，湖南常德人，教授，博士，主要从事调和分析、数学教育研究。