让导数教学散发数学的应用价值

彭国荣

【摘要】导数是高等数学的最基础和重要的概念之一，不仅可以解决数学问题还可以解决物理、工程、技术、科研、国防、医学、环保、经济管理中的很多问题。本文通过典型的案例分析，介绍了导数在经济学中的应用价值。有助于学生了解数学与现实生活和其他学科的密切聯系，了解导数在刻画和解决实际问题中的作用，认识数学的应用价值。

【关键词】应用价值 导数 实例 经济学

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）12-0127-02

为培养应用型，创造型人才对高等数学教学也提出了新的期望和要求。高等数学教学应重视数学的应用价值，导数是高等数学最基础和最重要的概念之一，是很好的体现数学应用价值的载体。本文挖掘导数在经济学中的应用元素，让导数教学散发出高等数学的应用价值，展现数学的文化魅力。

一、高等数学教学中散发数学应用价值的必要性

一直以来很多学生都觉得高等数学很枯燥乏味。经过调查，绝大部分学生认为数学与日常生活无关、公式很烦，他们觉得自己是被迫而学，他们基本上不知道学习数学的真正目的和用处。如果一个人做一件事情不知道为什么要去做，那么很难对此产生兴趣的。因此，教师教学过程中较少涉及高等数学的实际应用价值，这极易影响学生对高等数学的全面认识，对高等数学产生偏见。因而，如何在高等数学教学中体现数学的应用价值是值得每个教师深思的问题。导数是高等数学最基础的和重要概念之一，是很好的体现数学应用价值的载体，它是刻画函数运动的一种重要的数学工具。在工程、技术、科研、国防、医药、环保、经济管理等诸多领域有着非常广泛的应用。导数及其应用是学习其它专业的重要工具，也是学习和研究现代科学技术的有力工具。有利于发展学生的数学运算能力和数学建模的能力。导数的学习，有助于学生认识数学与实际生活以及其他学科的紧密联系，了解导数在刻画和解决实际问题中的作用，认识数学的应用价值。

二、导数的定义与导数与经济学知识的关系

1.导数的概念

设函数在的某邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量；如果与之比当时极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为在处的导数[1]，记为，即

2.导数的运算法则

四则运算法则：如果函数即在点都具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在具有导数[2]，且

复合函数求导法则：如果在点可导，而在点可导，则复合函数在点可导，其导数为。

3.导数与经济知识的关系

数学的表象是数字和数字之间的运算和变化，其实质上是从自然事件和其普遍联系中抽象出来的概念，任何事物所处的状态、经历的过程变化、事物与事物之间的联系及其他的自然现象都可以用数学的概念、公式和算法表征出来。经济学涉及很多公式和规律，这些公式和规律可以借助数学方法和数学语言表达出来。因此数学知识在经济学中有着举足轻重的作用，导数及导数的运算作为高等数学教学中的重点，在经济学中也有着非常重要的作用。随着教学改革的不断推进，应用数学处理经济问题的能力也成为考查学生学习水平重要方式之一。

三、导数在经济学中的应用的实例分析

1.利用导数求边际成本

边际成本是成本对产量的变化率，设成本函数，为产量，边际成本：。的意义是产量在水平的基础上，产量每变化1个单位时，所引起的总成本的改变量为。

如：某厂某商品的成本函数，求当时的总成本、平均成本和边际成本。

当时，总成本：，

平均成本函数：，

边际成本函数：，则.

本题中边际成本的的经济学含义是当产量在20个单位的基础上，再生产1个单位的产品，总成本增加2.5个单位，即生产第21个单位产品时，所需成本是2.5个单位。

2.利用导数求边际收益

边际收益是收益对销量的变化率。若总收益对对向量的函数为，则边际收益：.表示在销量的基础上，再多销售1个单位产品所引起的收益增量为个单位。

如：已知某厂某商品的市场需求函数为，是产品的销售价格，是市场需求量，求该商品的边际收益函数，以及分别销售150个单位、600个单位、750个单位的边际收益。

总收益：

边际收益：

本题的经济学含义是当销售为100件时，，说明增加销量总收益会增加，而且多销售一个单位，总收益会增加300个单位。当销售为600个单位时；，说明此时销售量是最佳销售量，可以使总收益达到最大化，再增加销量总收益不会增加；当销售量为750个单位时，，说明此时增加销售量，总收益会减少，再销售一个单位，总收益减少100个单位。

3.利用导数求最大利润

边际利润是收益对销量的变化率。若总利润对销量的的函数为，边际利润。的意义是销售量为时，再多小时一个单位产品引起的总利润改变量为。

，于是取得最大值的必要条件是，即。

取得最大值的充分条件是，即，从而当销量满足且时，利润达到最大化。

四、结语

导数可以应用在经济学的方方面面，借助导数的定义和算法，不仅可以加深学生对相关经济学概念、原理、规律的理解，而且可以更加深人的了解和掌握经济学中关于变化的过程和状态。在经济教学中有针对性的渗透数学知识，不仅可以加深学生对经济学概念的理解，而且也是将数学知识运动到生活中解决现实问题的重要实践。素质教育的目标是培养能独立思考、具有创新思维并会解决实际问题的复合型人才。因此，教师作为学生学习的引路人，要与时俱进，从学科之间的交叉关联人手，积极思考、尝试、创新多学科综合教学方法，在引领学生获得知识的同时，提升其创新思维和多学科综合解决实际问题的能力。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2005.

课题项目：湖北民族学院教学研究一般项目《民族预科数学课程价值取向研究》编号：2017JY010。