2017年高考物理试题中线性关系的运用探讨

徐东琴

(温州中学 浙江 温州 325000)

钱呈祥

(永嘉县上塘中学 浙江 温州 325100)

高中物理实验中物理量之间有直接线性关系的并不少见，如“探究小车速度随时间变化的规律”实验中的速度与时间的关系，“探究加速度与物体质量、物体受力的关系”实验中的加速度与力的关系，“用伏安法测干电池的电动势和内电阻”实验中的路端电压与电流的关系以及“利用插针法测定玻璃的折射率”实验中的sini-sinr关系都是直接的线性关系.物理量之间的非线性关系对实验数据的分析和处理往往不便，对实验结论的得出自然会增加难度，因此对物理量之间的关系要实施非线性向线性的转化.高中物理实验中，将物理量的非线性关系转化为线性关系，不但有助于用图像的方法直观地对实验数据进行分析和处理，从而得出实验结论，而且对培养学生良好的实验习惯，提高学生的解题能力，渗透物理思维方法，提升学生的科学素养大有裨益.实验中利用图像来处理实验数据有直观、简便的特点，更受高考命题人的青睐.笔者认真对比2017年各地高考实验试题，发现以下几题，既符合新课程的实验能力考查要求，又非常新颖，对大部分考生来说是一个不小的挑战.笔者认真解答这些试题后发现,只有把握住线性关系这个技巧，才能有效突破这类图像处理问题.

【例1】(2017年高考江苏物理卷第10题)利用如图1所示的实验装置探究恒力做功与物体动能变化的关系.小车的质量M=200.0 g，钩码的质量m=10.0 g，打点计时器的电源为50 Hz的交流电.

图1 探究恒力做功与物体动能变化关系实验装置示意图

(1)挂钩码前，为了消除摩擦力的影响，应调节木板右侧的高度，直至向左轻推小车观察到____________________.

(2)挂上钩码，按实验要求打出的一条纸带如图2所示.选择某一点为O，一次每隔4个计时点取一个计数点.用刻度尺量出相邻计数点间的距离Δx，记录在纸带上.计算打出各计数点时小车的速度v，其中打出计数点“1”时小车的速度v1=______m/s.

图2 挂上钩码后打出的一条纸带

表1 W与ΔEk计算结果

请根据表中的数据，在答题卡的方格纸上(图3)作出ΔEk-W图像.

图3 答题所用方格纸

(4)实验结果表明，ΔEk总是略小于W， 某同学猜想是由于小车所受拉力小于钩码重力造成的.用题中小车和钩码质量的数据可算出小车受到的实际拉力F=______.

解析：(1)小车做匀速运动，则小车受到的摩擦力跟小车的下滑分力平衡，消除了摩擦力的影响.

(2)打出计数点“1”时小车的速度

代入数据得

v1=0.228 m/s

(3)ΔEk-W图像如图4所示.

图4 ΔEk-W图像

(4)由牛顿第二定律

F=Mamg-F=ma

解得

代入题给数据得

F=0.093 N

【例2】(2017年高考北京卷第21题)如图5所示，用质量为m的重物通过滑轮牵引小车，使它在长木板上运动，打点计时器在纸带上记录小车的运动情况.利用该装置可以完成“探究动能定理”的实验.

(1)打点计时器使用的电源是______(选填选项前的字母).

A．直流电源

B．交流电源

图5 探究动能定理实验装置示意图

(2)实验中，需要平衡摩擦力和其他阻力.正确的操作方法是______(选填选项前的字母).

A．把长木板右端垫高

B．改变小车的质量

在不挂重物且______(选填选项前的字母)的情况下，轻推一下小车，若小车拖着纸带做匀速运动，表明已经消除了摩擦力和其他阻力的影响.

A．计时器不打点

B．计时器打点

(3)接通电源，释放小车，打点计时器在纸带上打下一系列点，将打下的第一个点标为O.在纸带上依次取A，B，C，…若干个计数点，已知相邻计数点间的时间间隔为T.测得A，B，C，…各点到O点的距离为x1，x2，x3，…，如图6所示.实验中，重物质量远小于小车质量，可认为小车所受的拉力大小为mg，从打O点到打B点的过程中，拉力对小车做的功W=______，打B点时小车的速度v=______.

图6 探究动能定理打出的纸带

(4)以v2为纵坐标，W为横坐标，利用实验数据做出如图7所示的v2-W图像.由此图像可得v2随W变化的表达式为______________.根据功与能的关系，动能的表达式中可能包含v2这个因子；分析实验结果的单位关系，与图线斜率有关的物理量应是______.

图7 v2-W图像

(5)假设已经完全消除了摩擦力和其他阻力的影响，若重物质量不满足远小于小车质量的条件，则从理论上分析，下列选项中正确反映v2-W关系的是______.

解析：(1)打点计时器均使用交流电，故选项B正确.

(2)平衡摩擦力和其他阻力，是通过垫高木板右端，构成斜面，使重力沿斜面向下的分力跟它们平衡，故选项A正确；实验时，是让打点计时器工作，纸带跟打点计时器之间会有滑动摩擦力，属于实验中小车受到的阻力之一，也需要平衡，故选项B正确.

(3)由图可知，小车拖动纸带移动的距离等于重物下落的距离，小车所受的拉力又约等于重物的重力，因此，W=mgx2；小车在运动时为匀变速直线运动，因此打B点时小车的速度为小车带动纸带打下AC段中间时刻的速度，也等于这段的平均速度，有

(4)由图7知，图像为一条过原点的倾斜直线，斜率为

故v2=4.74W，设小车的质量为M，根据动能定理有

变形得

对照上式可知

因此斜率的单位为kg-1.

所以图像为过原点的倾斜直线，应选择图像A.

【例3】[2017年高考天津理综卷第9题(3)]某探究性学习小组利用如图8所示的电路测量电池的电动势和内阻.其中电流表A1的内阻r1=1.0 kΩ，电阻R1=9.0 kΩ，为了方便读数和作图，给电池串联一个R0=3.0 Ω的电阻.

图8 测量电池电动势和内阻电路图

(1)按图示电路进行连接后，发现aa′,bb′和cc′ 3条导线中，混进了一条内部断开的导线.为了确定哪一条导线内部是断开的，将开关S闭合，用多用电表的电压挡先测量a和b′间电压，读数不为零，再测量a和a′间电压，若读数不为零，则一定是______导线断开；若读数为零，则一定是______导线断开.

(2)排除故障后，该小组顺利完成实验.通过多次改变滑动变阻器触头位置，得到电流表A1和A2的多组I1，I2数据，作出图像如图9所示.由I1-I2图像得到的电池的电动势E=______V，内阻r=______Ω.

图9 I1-I2图像

解析：(1)用电压表检测电路故障，电压表的表头是电流计，原电路有断路，回路中无电流，将电压表接在a,b′间后有示数，说明电路被接通，即a,b′间有断路故障，再测量a,a′间电压，电压表读数不为零，说明断路故障的范围被缩小到a,a′间，则一定是a,a′间导线断开；若读数为零，则说明电路仍未被接通，断路故障的范围被确定在b,b′间.

(2)根据闭合电路欧姆定律

E=I1(R1+r)+(I1+I2)(R0+r)

I1≪I2

上式可简化为

E=I1(R1+r1)+I2(R0+r)

读出两点坐标(60，0.12)和(260，0.05)， 代入方程解得电动势E=1.41 V，内阻r=0.5 Ω.

【例4】(2017年高考新课标Ⅱ卷第22题)某同学研究在固定斜面上运动物体的平均速度、瞬时速度和加速度之间的关系.使用的器材有斜面、滑块、长度不同的挡光片、光电计时器.

实验步骤如下：

①如图10(a)所示，将光电门固定在斜面下端附近，将一挡光片安装在滑块上，记下挡光片前端相对于斜面的位置，令滑块从斜面上方由静止开始下滑；

②当滑块上的挡光片经过光电门时，用光电计时器测得光线被挡光片遮住的时间Δt；

④将另一挡光片换到滑块上，使滑块上的挡光片前端与①中的位置相同，令滑块由静止开始下滑，重复步骤②、③；

⑤多次重复步骤④;

图10 实验步骤图示

完成下列填空：

(2)由图10(c)可求得vA=______cm/s，a=______cm/s2.(结果保留3位有效数字)

解析：(1)设挡光片末端到达光电门的速度为v，则由速度时间关系可知

v=vA+aΔt

且

联立解得

(2)由图10(c)可求得

vA=52.1 cm/s

a=16.6 cm/s2

【例5】(2017年高考江苏卷第3题)一小物块沿斜面向上滑动，然后滑回到原处.物块初动能为Ek0，与斜面间的动摩擦因数不变，则该过程中，物块的动能Ek与位移x关系的图线是( )

解析： 向上滑动过程中，根据动能定理

Ek=Ek0-(Gsinθ+μGcosθ)x

同理，下滑过程，由动能定理可得

Ek=(Gsinθ-μGcosθ)(xm-x)xm=

故C正确，A,B,D错误.

对于包含非线性函数关系的系统来说, 非线性数学模型的建立和求解, 其过程是非常复杂的.为了绕过非线性系统在数学处理中的困难, 对于大部分非线性系统来说, 都可以近似地线性化, 即用线性化数学模型来代替非线性数学模型.以上几道高考试题，命题者用新颖的角度展示了图像中直线斜率的丰富内涵，不同的试题，赋予了不同的内容，抓住了图像处理中的线性思维，所有问题都迎刃而解.物理实验定性问题类型多种多样，我们通过上述典型例子分析，可见这类问题的线性回归分析很重要，更易于理解.对物理实验数据的线性现象的讨论和研究是物理实验中极为重要的环节.笔者认为平时的实验教学过程中，不但要注重动手能力的培养，也要注意思想方法的渗透，这样才能真正提高学生的实验能力.在平时的实验复习中，要培养学生利用图像解决问题的意识，当测量数据成非线性关系时，应洞察两个物理量的变化关系，掌握这类问题的处理策略，从线性关系角度建立合适的坐标，解决相关的物理问题.利用线性关系图像分析处理验证性的实验主要是验证物理规律中物理量之间的关系.若它们之间的关系可以转化为最简单的正比关系，则用线性关系图像法处理较为方便、直观,可以利用线性关系图像定性地分析实验误差.可以让学生在数据处理过程中尝试回答以下问题：

(1)根据你现有的认识，两个变量之间存在哪些关系，有何异同？

(2)问题中的两个变量有没有关系？如果有，是什么关系？为什么？

(3)这样的关系如何直观体现？

(4)两个变量可以近似成什么关系？

(5)如果考虑最简单的直线拟合，怎样确定一条直线最能反映这组数据的规律？

(6)公式的计算是比较繁琐的，能否利用信息技术来帮助我们？

(7)我们得到这个模型有什么用？

具体计算时给学生提供两种计算工具，即带简单统计功能的计算器和Excel工具软件.

对具有线性关系的两个变量进行统计分析的方法叫做线性回归分析.运用线性回归分析的方法来分析、处理数据的一般步骤是：

(1)收集数据，并制成表格；

(2)画出数据的散点图；

(3)利用散点图直观认识变量间的相关关系；

(4)运用科学计算器、Excel表格等现代信息技术手段求解回归方程；

(5)通过研究线性回归方程，提取有用信息，作出比较可靠的趋势预测.

线性分析方法建立在对客观事物观察的基础上，由于测量误差的存在，确定性关系往往通过相关关系表现出来.但是，当对事物的规律了解得越来越深刻的时候，相关关系可能转化为确定的线性关系.利用线性关系图像减小实验误差,利用线性关系图像处理实验数据时，可剔除那些明显不在直线上的点，以减小随机误差.自然界系统都是非线性的,非线性是世界的本质.线性的数学模型是人类建立的语言,线性的数学语言是人类了解自然界的重要手段.线性化简化了复杂的世界，把世界线性化损失了许多有趣的现象，而非线性现象是世界进展的因素，非线性数学模型的线性化是人类了解自然、认识自然和研究自然的重要手段.