压差阻力在落球法测液体粘度的应用与研究*

麦炽聪 卜寿亮 温建平

(嘉应学院物理与光信息科技学院 广东 梅州 514015)

张灵辉

(嘉应学院土木工程学院 广东 梅州 514015)

1 引言

粘滞性是液体重要的物理性质之一，粘滞系数是表征液体粘滞性强弱的重要参数.测定液体的粘滞系数的方法有转筒法、落球法、阻尼振动法、杯式粘度计法、毛细管法等等[1].落球法是一种绝对法测量液体的粘度，常用于教学演示或者生产测量，是大学物理教学中重要的实验.在一个盛有粘性液体的量筒中，从液面上方释放一金属小球，使小球在量筒的液体中自由铅直下落.当小球在液体中运动时，由于附着在小球表面的液体层与周围液体层之间产生相对运动，小球即受到粘滞力作用.当受力平衡时，小球达到极限速度，做匀速运动，通过测量小球的极限速度可求解得到液体的粘度.

落球法测量较低粘度液体如食用玉米油的粘滞系数时,当小球在液体中匀速下落过程中，小球除受到重力、浮力、粘滞阻力还受到了压差阻力的作用，且四力作用并达到平衡.文中建立了通过研究分析小球四力平衡运动状态测量低粘度透明液体的新实验方法.

2 实验理论

当金属小球在粘性液体中缓慢自由沉降时，它受到3个竖直方向的力，小球的重力G,浮力F,粘滞阻力f1[2].若液体深度无限，小球的表面光滑，半径为r，且下落速度v比较小，斯托克斯指出，小球此时在液体中受到的粘滞阻力为

f1=6πηrv

(1)

上式即为斯托克斯公式，式中η是液体的粘滞系数，单位为Pa·s.

当小球在液体中匀速下落速度比较大时，由于液体自身的粘滞性，小球下落方向的前后会产生压强差，于是产生了压差阻力.此时小球在竖直方向上受到4个力的作用，小球的重力G,液体提供的浮力F，粘滞阻力f1和压差阻力f2(方向与粘滞阻力一致，跟小球的速度方向相反),如图1所示.此时小球受到的压差阻力有

(2)

式中A为小球在垂直于运动方向的面积(又称小球的投影面积),A=πr2，r为小球半径，φ为阻力系数，v为运动速度，ρ为液体密度.

图1 小球四力平衡示意图

压差阻力与粘滞阻力随小球的速度增大而增大，当小球下落达到一定速度时，重力等于浮力、粘滞阻力和压差阻力之和，此时作用在小球竖直方向上的4个力平衡，有

G=F+f1+f2

即

(3)

此时小球做匀速运动，所得的速度v为小球在液体中自由下落的极限速度.

3 实验方法与结果

3.1 实验装置

实验采用视频法进行测定，视频法即在盛有待测液体的量筒(量筒规格1 000 ml)侧边沿竖直立放一把钢尺(在普通量筒上使用，注意一定要使用可调节水平底座)，然后架设一台摄像机，调节好摄像机的距离、拍摄角度和高度，使镜头正对量筒，并且能清晰拍摄到钢尺的刻度.实验装置如图2所示.

图2 视频法实验装置示意图

3.2 实验方法

图3 单幅截图

图4 处理后的轨迹效果图

实验中选取5种直径规格不同的钢珠，在相同的量筒中心且接触液面位置释放.由于钢珠直径不同，直径比较大的钢珠整体质量比较大，在液体中下落的速度也比较大.已知小球在液体中的运动速度比较大时，需要考虑压差阻力的作用.通过使用不同直径的钢珠进行实验，观察所得的实验结果，看钢珠下落速度较快情况下是否会因压差阻力的干扰而影响最后所得的液体的粘滞系数，判断钢珠直径对实验产生的误差影响.

3.3 实验结果

3.3.1 钢珠与玉米油参数测量

实验使用5种钢珠，按直径从小到大编号：钢珠①、钢珠②、钢珠③、钢珠④、钢珠⑤.螺旋测微器测量每种钢珠的直径，采用多次测量，具体每一种钢珠取5颗，每颗在不同的位置测2次，每种钢珠总共测量10次，然后取平均值，数据记录如表1所示.

表1 钢珠直径记录表

表2 钢珠质量密度对照表

表3 玉米油参数

4 实验结果分析

实验时直径不同的5种钢珠在相同位置释放.每种钢珠的直径、极限速度和求得的粘滞系数如表4所示.

表4 钢珠数据对应表

由表4数据可得，钢珠达到的极限速度和所得粘滞系数随着钢珠的直径增大而增大.钢珠①和钢珠②的极限速度均在0.05 m/s以下，速度较小，而钢珠③、钢珠④和钢珠⑤的极限速度较大，钢珠在液体中运动时不仅会受粘滞阻力的影响，还有压差阻力的影响.根据压差阻力的计算公式，压差阻力与速度的平方成正比，而钢珠③、④、⑤的匀速运动速度比较大已引入压差阻力，导致求得的粘滞系数偏大，如下验证.

当钢珠⑤达到极限速度时，根据球体在粘性液体中沉降速度与雷诺数关系.得雷诺数

式中ρ是液体密度，η是粘滞系数，d是钢珠⑤直径，v为钢珠⑤极限速度.

当雷诺数Re取3.8时，查阅资料得此时对应的阻力系数φ=8.63[5].将其代入压差阻力计算公式

得

f=0.002 204 N

式中A=πr2.

用钢珠①所得的(23.5℃)标准玉米油粘滞系数η=0.192 8 Pa·s计算钢珠⑤受到的粘滞阻力，代入式(1)，得

f′=0.001 609 N

F=0.000 533 N

浮力、压差阻力、粘滞阻力，这3个力方向相同，得

F+f+f′=0.004 346 N≈G

钢珠⑤重力G=0.004 9 N.在误差范围内验证得四力平衡，钢珠⑤下落过程受到粘滞阻力与压差阻力的作用.

5 结论

落球法测量低粘度液体的粘滞系数时小球在液体中匀速下落过程中，小球除受到重力、浮力、粘滞阻力还受到了压差阻力的作用，且小球匀速下落时,四力达到平衡.因此,建立了一种通过研究小球四力平衡运动状态测量低粘度透明液体粘滞系数的新方法.扩展了落球法测量液体的粘滞系数的适用范围.

参 考 文 献

1 张也影.流体力学(第2版).北京：高等教育出版社，1999

2 杨兰田，吴明遇.力学.武汉：华中师范大学出版社，1992

3 温建平，刘通宁，张亦翻，等.等变速落球法测液体黏度的研究 .大学物理，2014，33(1)42～44

4 赵平华.落球法测液体的粘滞系数的研究.大学物理，2002，21(7)：29～30

5 熊国立.泥沙沉速的另一种计算法.西北建筑工程学院学报,1986(1):69～72