“压缩波”与IYPT赛题“真空火箭筒”

崔卫国

(南京市金陵中学 江苏 南京 210005)

“真空火箭筒”是一个什么装置呢？现展示一下2017年IYPT赛题第17题.

Vacuum Bazooka：A “vacuum bazooka” can be built with a simple plastic pipe, a light projectile, and a vacuum cleaner. Build such a device and maximise the muzzle velocity.

(译文)真空火箭筒：用塑料管、吸尘器以及一个发射物，就能制作一个“火箭筒”了.请制作一个这样的火箭筒，并使得出射速度最大化.

实验装置的构建如图1所示.

图1 真空火箭筒装置示意图

实验现象：在透明的水平长管左端放入直径略小于管内直径的发射物，用挡片A封住长管左端，挡片B封住长管右端，启动吸尘器．稳定吸气一段时间后，突然撤去挡片A，发射物在管内加速，至长管右端以很高速度撞击挡片B后射出.

发射物在管内被加速的最大速度跟哪些因素有关呢？

我们可以初步推测：发射物的质量m越小，出射速度u越大；发射物的横截面积S′越接近管内直径S，出射速度u越大；发射物加速距离x越大，出射速度u越大；吸尘器的功率越大，出射速度u越大；等等．根据军用炮弹形状的联想，发射物外形的不同应该对出射速度u有影响.

经过多次理论建模的尝试，我们放弃了用静态气体状态方程介入研究的想法，考虑到发射物前方的管内气体受到发射物的冲击，此时“压缩波”产生的压强变化对发射物的速度大小会有显著影响.能否合理地将“压缩波”知识纳入到“真空火箭筒”的理论模型中呢？

1 类比：管内发射物相当于隧道中的列车

图1中的发射物在水平管中的运动行为让我们联想到列车进入隧道的情景.

dp=ρ0c0du

(1)

其中，p为发射物前方气体对它的压强,u为发射物的运动速度,ρ0为初始压缩波的空气密度,c0为声音在初始压缩波中的速度.

2 发射物的运动规律

待吸尘器稳定吸气一段时间后突然撤去挡片A，对发射物受到的各物理量做如下界定：水平管的横截面积为S(测量值为6.30 cm2)，发射物的横截面积设为S′；由于发射物与水平管之间有较小的空隙，撤去挡片A后发射物的左侧空气压强可以视为大气压强且恒定为p0；发射物右侧气体在稳定抽气状态下初始压强设为p′，任意时刻压强可以表示为p；又因摩擦力相对气体压力差的影响较小，此处忽略了摩擦对发射物速度的影响.

现对式(1)积分，并结合初始条件u=0时p=p′，有

p=p′+ρ0c0u

(2)

对发射物应用牛顿第二定律

即

(3)

则发射物向前运动的距离x与获得的速度u满足

p0-p′-ρ0c0u-

取x=0时u=0，有

(4)

温度为25 ℃时，ρ0=1.18 kg/m3，c0=346 m/s，p0=100 kPa，吸尘器此时能使得发射物右侧有稳定的压强p′=79 kPa，发射物的截面积

S′=5.50 cm2

代入式(4)并化简后得到

(5)

根据式(5)，发射物获得的速度u与位移x关系图像如图2所示.可以看出，加速距离x越大，速度u越大，最终发射物的速度会逼近一个最大值.图2中粗实线和细实线分别反映了质量不同的发射物在管中发射的速度u随加速距离x的关系，可知质量越小的物体在同等加速距离下获得的速度越大.

图2 发射物获得的速度u与位移x关系图像

3 实验与理论的对比

若发射物的质量保持m=0.01 kg不变，式(5)变为

(6)

利用图1装置进行实验，发射物的质量保持m=0.01 kg不变，加速距离x和获得的速度u的测量值如表1所示.

表1 m=0.01 kg时x与u的测量值

注：本表数据由南京市金陵中学丁洋老师提供.

在实际实验的测量中，由于管的长度不能做得足够长，发射物被加速的最大距离x=2.00 m，对应最大速度的测量值为37.65 m/s.根据式(6)，此理论值的最大速度为41.50 m/s，该实际的测量值已经比较接近理论值了.测量数据对应的实验线和理论线如图3所示，可以发现实验线与理论线贴近，但实验线总是在理论线的下方.这说明上面建立的理论模型具有较高的合理性，但两根线没有重合说明理论中还有些物理量未曾考虑全面.

图3 测量数据对应的理论线与实验线

4 可能影响最大速度的其他因素

根据上面的简化模型，影响发射物速度大小的因素有发射物的质量m，在管中加速的距离x，外界大气压强p0，因抽气功率影响的发射物前方的气体压强p.

尚未考虑的因素可能还有：发射物后方的气体不能完全恒定为p0，可能受到稀疏波的影响；水平管对发射物的摩擦力的影响；发射物与管之间的微小空气间隙对运动的影响；发射物前方的空气因压缩做功消耗物体动能的影响；发射物速度增大到一定程度后吸尘器吸气快慢对气体压强的影响；甚至发射物的外形不同对速度的大小也有不同的影响等等.尽管发射物前后的气压差是影响它运动速度大小的最主要因素，但这些未考虑的因素也是造成图3中实验线与理论线有一定差距的原因所在.

总之，在精确实验数据面前，借助类比列车进入隧道的现象将压缩波引入真空火箭筒的理论建模，是可行的，是合理的.

参 考 文 献

1 王宏林，雷波，毕海权．压缩波惯性作用对其波形演变的影响．西南交通大学学报，2015，50(1)：118～123