对一道电场强度题目的3种解法与拓展分析

2018-06-15黄开智蔡静晋

物理通报 2018年6期

关键词：球壳电场力球心

黄开智仲华蔡静晋

(江苏省姜堰第二中学江苏泰州 225500)

1 问题由来

近期，在对学生进行物理竞赛培训中，出现了一道关于求解电场强度的习题，题目如下：如图1所示，一均匀带正电半球壳，电荷量为Q，球壳半径为R，试求球心O处的电场强度.

图1 均匀带电半球壳

2 问题分析

该题所考查的知识点主要有两个，一是点电荷的电场强度计算公式，二是电场强度的矢量性.高中生解该题，要求学生有较强的数学基础，主要是微积分，另外也需要良好的空间想象能力和知识类比迁移能力.针对此题，主要有如下思考观点.

观点1：该题的解答必须要使用微积分，并且积分路径取决于微分思想，大致有3种思路.一是旋转积分，如图2所示，先求出半环在圆心处的场强，然后将半环水平旋转360度积分，便得到球壳在球心处的场强；二是叠加积分，如图3所示，先求出一个微分环带在球心处的场强，然后将环带在竖直方向叠加积分，求出球心处的场强；三是面积分，如图4所示，先求出面积元dS在球心处的场强，然后对面积进行积分，得到球心处的场强.

图2 旋转积分

图3 叠加积分

图4 面积分

观点2：该题的解答如果要使用积分，便超出了学生常规的能力范畴，故而必定有其他等效的方法，可以较为便捷地得到答案.

3 问题解决

针对积分思路，本文给出两种解答过程，如下.

解法1：旋转积分

如图2所示，假设实心半圆环携带均匀正电荷，电荷量为q，在环上选取线元dl，故其电荷量为

考虑到该场强的水平分量相抵消，只有竖直方向的分场强，用dEy表示，则

对dEy进行积分，便得到半圆环在圆心O处的场强大小

最后将半圆环进行水平转动360°，便得到球壳，且球壳电荷量等于无数个半圆环的电荷量的和，即Q=∑q.故而在球心处，半球壳的场强大小为

方向竖直向下.

解法2：面积分

如图4所示，在球壳上选取面积元dS，其电荷量为

利用球坐标面积元微分公式

dS=R2sinθdθdφ

则

该面积元电荷在球心O处场强的竖直分量为

于是利用双重积分

整理得到球心处的场强大小为

方向竖直向下.

解法3：等效思维——马德堡半球实验

如图5所示，假设在球心处固定一电荷量为q的带负电小球，然后在球壳处选取面积元dS，其电荷量为

q对dQ的电场力为

于是该力对应的压强应为

由于在球壳上的压强处处相等，故可以将这些压强等效为大气压强，其物理情境便类似于“马德堡半球实验”.大气压强p0产生的压力作用在球面上，球面的等效面积为半球截面πR2，则压力大小为

F=p0S=πR2p0

将大气压强p0换成电场力产生的压强p，故作用在球壳Q的电场力

消去q，得出球心处场强大小为

方向如图5所示，竖直向下.

图5 等效思维——马德堡半球实验

4 问题感悟

上述解法2和解法3的结果一致但与解法1的结果不同，有如下几点思考.

第一,解法1的结果是错误的.其错误原因在于微分思路有问题，当半圆环水平旋转dφ时，形成的是如图6所示的“弧带”，而在该“弧带”上，随着θ角的增大(向下转动)，dθ角对应的电荷量也在增大，它不能等同于宽度一致的圆环的电荷分布.如同沿着“经线切西瓜”，总有下面西瓜片要比上面宽.因此，该解法的微分思路有问题，要做修改，而修改后，就变成了解法2的面积分了.

图6 弧带微分

第二,解法2遵循了严格意义上的积分思想，应该不存在什么问题，但其难点在于球坐标的微分面积元公式的记忆和基本积分运算，属于高等数学知识内容，超出了学生的能力范围，学生只有通过一定的数学培训后，才可能求解结果.

第三,解法3先是在球心处引入点电荷q，球壳对点电荷的电场力大小等于点电荷对球壳的作用力，再将该作用力所产生的压强等效为大气压强，利用马德堡半球实验规律，求出电场力的大小，进而得出场强.该解法思路巧妙，主要运用了等效思维，是在高中生能力范围之内的解法.此外，从高中物理学科核心素养来看，发展学生物理核心素养主要从“物理观念”“科学思维”“科学探究”和“科学态度与责任”4个方面做起.解法3的等效思维实际上突出了科学思维中的模型构建，从物理学的视角，找出模型之间的内在规律及相互关系，进行分析综合，这有助于提升学生提出创造性见解的能力与品质，故而本文推荐该种解法.