对2107年全国卷Ⅱ第18题的分析与思考

许 文

(武汉华中科技大学附属中学 430074)

带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题，是高考中高频考点之一，在近几年高考的全国卷与各地方卷中都得到一定程度的体现，且问题的考查方式与角度非常灵活.2017年高考全国卷Ⅱ第18题，是一道由陈题改编的物理试题.该题以带电粒子在有界匀强磁场中运动为背景，考查临界状态的分析与临界条件的寻找.一部分考生因不会寻找这类问题的临界状态，导致对该类问题的分析与求解思路受阻.本文分析此题，总结寻找带电粒子在有界磁场中运动临界状态的方法.

一、试题分析

试题(2017全国卷Ⅱ18)如图1所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入的速度为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速度为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1为( ).

立意本题考查带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动.意在考查对临界状态的分析与临界条件的寻找能力.

答案:C

评析这道带电粒子在有界匀强磁场中运动的试题，让考生感到既熟悉又陌生.熟悉的是问题类型，陌生的是临界状态.由于大量粒子均从场区圆边界上同一点入射磁场，速度方向不同的粒子其运动的轨迹不同.如果对粒子出射磁场时与入射点有最大距离时的临界状态找不出，当然就得不出到粒子运动轨迹圆的半径与这个最大距离及场区圆半径之间的隐含关系，问题求解就会受阻.以上的分析求解，巧妙地将粒子运动的轨迹圆绕入射点沿轨迹圆平面进行旋转，就不难发现粒子出射磁场时与入射点的最大距离即为轨迹圆的直径，再利用几何知识找出轨迹圆的半径与场区圆半径之间的关系，问题就能顺利地求解.

追源本试题可能由以下两道陈题改编而成的.

感悟以上两道陈题和试题本质上相同，不同的是考查问题的角度不一样.陈1是所有粒子的速率一定，当磁场的感应强度变化时，粒子从场区圆边界射出的最远点位置将发生改变，由两种情况下粒子从场区圆边界射出的范围求磁感应强度之比；陈题2是在已知磁感应强度与粒子从场区圆边界射出点的位置分布的条件下，求粒子的入射速度大小；还要分析在改变磁感应强度后，粒子射出点的位置变化；改编后的试题是在磁场一定时，改变粒子的速率，粒子从场区圆边界射出的位置范围发生改变，根据改变的位置范围求粒子速率之比.可以看出，试题的分析与求解方法与两陈题的分析与求解方法完全相同.当今高考试题的命制并不回避陈题，对教材、复习资料和往年高考试题中的陈题进行某些变化，以求推陈出新，这是新高考试题命题的一个重要来源.因此，我们的物理学习与备考应回归到理性，在学习过程中固化最基本、最有效的物理思想和物理方法，注重培养能力，这是提高物理学习和备考的有效途径.

二、方法总结

带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动是在一定的空间中进行的.往往由于磁场存在的空间有限，即磁场存在一定的边界，带电粒子在这有限的磁场空间可能会做一部分圆弧运动之后离开磁场区域.如果粒子在磁场边界进入位置不同、进入时速度的大小与方向不同，或者磁场区域边界条件的不同，将会导致粒子在磁场中运动的临界状态可能不同.寻找带电粒子在有界磁场中运动的临界状态，是这类问题分析求解的关键.我们可以通过以下方法寻找这类问题的临界状态.

1．旋转

如果带电粒子射入磁场中的入射点的位置不变，粒子的速度的大小也不变但方向是改变的，则粒子在磁场中圆周运动的轨迹半径相同，但轨迹圆的圆心位置随粒子入射速度方向的变化而变化.这种情况下我们可以将轨迹圆以粒子入射点为转轴在轨迹圆平面内进行旋转，当轨迹圆转到与磁场的边界相切或与某个特征位置相交时(如以上试题与两陈题的粒子轨迹圆的直径的另一端落在场区圆的边界上)即可得到临界状态.

2．平移

如果带电粒子从磁场边界射入磁场时速度大小及方向均不变，但入射点的位置是变化的，则粒子在磁场中圆周运动的轨迹圆大小相同，但圆心随入射点的位置变化而变化.这种情况下我们可以将轨迹圆按其圆心所在的轨迹进行平移，当轨迹圆平移到与磁场的边界相切或与某个特征位置相交时即可得到临界状态.

3．缩放

如果带电粒子射入磁场中的入射点的位置不变，粒子的速度的方向也不变但大小是变化的，则粒子在磁场中圆周运动的轨迹圆心位置应在一条与入射速度方向垂直的直线上，但轨迹圆的半径随粒子入射速度大小的变化而变化.这种情况下我们可以让轨迹圆始终经过入射点，沿轨迹圆沿圆心所在的直线将轨迹圆的大小进行缩放，当轨迹圆缩放到与磁场的边界相切或与某个特征位置相交时即可得到临界状态.

总之，通过旋转、平移、缩放，临界状态就会曝光.寻找到了临界状态后，再往往通过数学知识与几何关系找出其临界条件.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部. 普通高中物理课程标准[M]. 北京:人民教育出版社,2015.