章节起始课的起承转合*——以函数的概念教学为例

□陈春涛

（中山市华侨中学，广东中山 528400）

章节起始课是指每一章的第一节课，内容包含“章引言”和“章前图”，在章引言中有对前面知识的简单小结和对本章节知识的简单介绍，具有承上启下的作用.其学习环节相比其他课堂，既要复习旧有知识，梳理知识脉络；又要介绍新的知识，渗透数学思想方法；还需要关注章前图、章引言、数学文化等内容，需要将这些材料恰当融入课堂之中.下面笔者以函数章节起始课的概念教学为例，谈谈章节起始课的起、承、转、合.

一、起：理清知识脉络

如果单纯从“数”的角度来看，根据变量的个数，可以这样理解代数式、方程、不等式和函数：在代数式模块中，要求学生能用字母表示一个变化的量，并对这个式子进行基本运算；在方程模块中，则对代数式赋值，变成一个等式，并能应用等式性质求出变量的值；不等式模块则是对某个代数式确定其范围，应用不等式的基本性质确定变量的变化范围；而函数模块则出现两个变量，这两个变量间还存在一定的对应关系，如果将某个变量赋值，则它变为方程；如果将某个变量给出范围，则它变成不等式.所以，对函数的理解是建立在代数式、方程、不等式的基础上的，函数问题也往往转化为方程、不等式来解决.据此，可以设计以下导入材料（见表1）.

表1

上述四个小填空题可配上以下引导词：

当我们要把两个量用同一个字母表示时，我们常列代数式（如第1题）.如果知道代数式的结果，代数式就变为了等式，可以用解方程的思想来解决（如第2题）.如果知道代数式的范围，就变成不等式（如第3题）.第4题把两个变化的量用等式形式表示出来，其中有两个表示变量的字母，两个字母之间存在一定的关系，这样的式子就是表示函数关系的式子.我们本就生活在一个变化的世界中，万物皆变，一个量随着另一个量的变化而变化的现象在生活中很常见.因此，在代数式、方程、不等式的基础上，我们还需要用函数来表示变化过程中两个量的这种依赖关系.当然，并不是所有的两个量的变化都能用函数关系来表示，但函数一定是表示两个变化的量之间的关系.

对比四个式子，我们发现，第4题答案的右边就是第1题中的代数式，如果令s=8，它就变为第2题中的方程，如果令s＞8，它就变为第3题中的不等式，所以函数是在代数式、方程、不等式基础上的进一步学习，在解决函数问题时也常常需要应用到代数式、方程或不等式的计算.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新课标”）指出：“教师还应揭示知识的数学实质及其体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系等.数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解.”上述引导词和导入材料完全体现了这一点.从列代数式变化为列方程，再变化为列不等式，进而变化为列函数关系式，正是体现了知识的整体性，注重了知识的结构和体系.而且设计的材料取自生活实际，取自他们的任课教师的实际生活情景，不仅可以提升学生的学习兴趣，而且也降低了学生对函数的陌生感，搭建了前后知识的桥梁.同时还为学生从“数”的角度去解决函数问题提供了思想方法——转化为方程或代数式的知识来解决.

二、承：渗透思想方法

章节起始课除了需要“承上”，还需要“启下”，对本模块或者本章节的知识结构做出简单的介绍，对本章节学习最常用的思想或方法进行渗透.章节知识结构可以在章节复习时再进行归纳，但思想方法如果能够在起始课中让学生有所感悟，会对学生整个章节的学习起到事半功倍的效果.

数形结合是函数学习的重点，也是学生学习的难点，这一思想方法在前面的学习中学生接触较少，主要体现在数轴和平面直角坐标系的学习中，应用也比较简单，但函数学习中以形示数却要成为学生解决问题时最常用的数学方法，怎样帮助学生完成这个跨越呢？

在解决完上面的问题后，我们可以将问题再变一变.

每天老师开车上班的时候都会遇到红绿灯，车速需要经常变化，我把行车时间和行车速度之间的关系绘制成下面的一幅图，请大家帮忙判断一下，在到学校的过程中，速度v是怎样随着时间t的变化而变化的？

这幅图展示的时间与速度的变化情况是：老师出门后用了2分钟时间将速度提升到40km/h，然后匀速行驶了3分钟，从第5分钟到第8分钟减速直到停车，等红灯用了2分钟；然后又用了4分钟将车速提升到50km/h，又匀速行驶4分钟，再用2分钟时间减速直到停车.

这道小题可以配上以下引导词：

在这幅图形描述的这段行车过程中，行车速度随着时间的变化而变化，它展示的也是两个量之间的对应变化关系，也是函数关系，但我们不方便用一个式子来表示它们的关系，用这幅图形却可以将这种关系表达得很清晰.所以表示两个变化的量我们除了可以用式子外，还可以用图形（或图表）来表示，这是前面学习代数式与方程时所没有的，不等式中尽管也曾用数轴表示范围，但也没有这样复杂.因此，函数这一模块的知识主要学习两个变化的量之间的关系，既要从“数”的角度去分析，也会从“形”的角度去分析.数形结合的思想是我们学习函数知识的法宝.

上述设计向学生指明函数可以用图象来表示，函数学习的主要方法是数形结合.“新课标”提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如数形结合、模型思想等.因此，教材在呈现相应的数学内容与思想方法时，应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则.”正因为如此，所以在章节起始课中，要让学生对“用图象可以解决函数问题”的思想有所理解，而不能等到学习函数的图象和性质时才很突兀地让学生去画函数图象.

三、转：概念正反辨析

函数的章节起始课是介绍常量与变量，为下一节的函数概念教学作铺垫.函数概念的学习是代数教学中的一大难点，它比较抽象，而且涉及的是两个变化的量，这两个量之间还要存在某种对应关系，这种关系还可以用图形的方法来呈现.这些特点导致函数概念难教、难学、难理解.如何把握学生已有的知识经验，如何定位概念的生长点，如何揭示函数的数学实质，就成了函数章节起始课导入环节必须解决的问题.根据初中学生的认知水平和认知特点，必须要多列举一些生活实例才可以让学生直观感悟.

在解决完上面的问题后，针对前面的图形，可以展开追问：

1.随着时间的变化，在5≤t≤8时，速度v的值是如何对应变化的？

2.随着时间的变化，在2≤t≤5时，速度v的值是如何对应变化的？

3.你能举出一个生活中存在函数关系的实例吗？

4.姓名和人之间符合函数关系吗？

这四道小题的设计意图如下：首先利用前面已经确定的函数关系，通过第1、2两题让学生直观理解，在函数关系中，当一个量变化时，另一个量可能随之变化，也可能不变化，但它一定有一个确定的值与前一个量对应.其次，通过学生自己举例，理解函数中的对应关系.再次，通过第4个问题，学生会理解到，一个姓名可能对应着几个不同的人，即姓名变化时，不一定有确定的人与之对应，所以这个例子不属于函数关系.

四、合：融合数学文化

数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整个数学教学中，函数概念之所以难理解，还因为学生对函数一词的字面意思的陌生.在前面的任务完成后，可以介绍与“函数”一词有关的数学文化以进一步加深理解.

“函”指的是信封，1859年，清代数学家李善兰在他的著作《代数学》中将“function”翻译为“函数”，他说：“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数.”“函”在古文中解释为匣子，通“含”，引申为包含容纳的意思，也就是数中包含数的关系，即两个变数之间的对应关系.如果略变通一下，把“函”理解为信函，自变量相当于信纸，因变量则相当于信封，因为信纸上内容的不同，则信封所承载的意义也各不相同，信封只有一个，而信纸却可以有多张.这样可以将自变量与因变量用信封与信纸来打比方，对两者的对应关系解释得更清晰.

经过以上的课堂设计，学生既理解了函数与前面所学的代数式、方程与不等式的关系，又对函数要研究的对象和方法有了初步的了解，在后续的学习环节只需通过一些具体实例，让学生感受数量的变化过程以及变化过程中变量之间的对应关系，即可在感性认识的基础上，深刻理解函数的定义.

本课的导入及后续设计兼顾了承上、枢中、启下的功效，同时渗透数学文化，是比较典型的章节起始课的设计形式.章节起始课的内容中也要注意章前图和章引言，如果能够渗透进入导入环节当然是最好的，但教学有法而无定法，教学设计的目的是为了优化学生的学习效果，不能单纯教教材，故本课设计中只选取了章引言中的部分内容，而没有完全按照章引言导入.

课堂设计是一门艺术，良好的导入则是音乐的过门，是大桥的引桥，可以引导课堂顺利达到高潮.当课堂起始遇到章节起始，如何在导入过程中整合旧知、融合新知，引领后续概念学习，正体现教师的教学智慧所在.