枚举问题例谈
2018-06-01赵建峰
赵建峰
摘要：计数总数或种类的趣题，有些因其数量关系比较隐蔽，不容易计数。根据这类题的特点，可以分成五类。前三种法适合于数目、种类不很繁杂的题，后两种比较适合可能情形及答案较多的题，需分类枚举的，这是应重点学习掌握的。分析时应尽量做到分类全面、合理、正确，不重不漏，快速、简捷地思考解答。
关键词：枚举问题；列举枚举；画图列举；标数枚举；例推枚举；公式枚举
中图分类号：G633.6 文献标识码：B文章编号：1672-1578（2018）10-0179-02
在数学问题中，有许多需要计数其总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统”的列式，让人感到无从下手。我们可以先初步估计其数目的大小，若数目不是太大，就按照一定的顺序，一一列举问题的可能情况及答案；若数目过大，且问题繁杂，我们就抓住特征，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数、计算，来解决问题。这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。为了便于掌握，根据这类题的特点，我们可以分类如下：
1.列举枚举
特点是有条理，不易重复或遗漏，使人一目了然，适用于要求的对象是有限个。
例1：有一张伍元币，4张贰元币，8张壹元币。要取出8元，可以有多少种不同的取法？
分析与解答：如果随便取出8元，那是比较容易做到的。但要把所有的情况都想到，并且做到不重复、不遗漏，可以按伍元、贰圆、壹元的顺序来列表枚举。
2.画图列举
为了更清楚地表示出可能情形，用画树形图枚举法，能做到形象直观，条分理明，简练易懂。特别适用于找所有的情形与答案。
例2：暑假里，一个学生在A、B、C、三个城市游览。他今天在这个城市，明天就到另一个城市。假如他第一天在A市，第五天又回到A市，问他有几种不同的游览方案？
分析与解答：根据游览要求，第二天可能是B市或C市；若为B市，第三天又可能是A市或C市；若为C市，第四天可能是A市或B市 。 如此考虑，极可能会把自己弄糊涂了。但画一个树形图，则会清晰明了地显示出所有的游览方案：
从树形图上可以看出：在三个城市游览，第五天回到A市，只有4种符合要求的答案。
3.标数枚举
例3：如图，在中国象棋盘上，红兵要走最短的距离到对方老将处，共有多少种不同的走法？
分析与解答：红兵要走最短的距离到老将处，只能向下向右。因此原图可化简为图2，兵走过第一排各点、第一列各点处都是1种走法，在各点处分别标上“1”；经过第二排、第二列各点时，走法则是它前边相邻两点走法的总和依次标数如图3共得到15种不同的走法。
运用该方法的关键，是要找准后面每一点的前面相邻两点的数目。
当然，此题还可以这样考虑：由题意可知，红兵到对方将处的各条最短的路线中，都必须先后经过两小横段与四小竖段。这实际上是他们之间相距最近的不同的组合问题，可得解如下：
C24+2=6×52×1= 15（种）
4.例推枚举
适用于规律性强，情形较多的题。可以避免许多相似的列举，简化解答过程。
例4：从1到100的自然数中，每次取出两个数，使他们的和大于100，取法肯定繁多。但其中一定有一个较小的数，因此我们可以采用例举类推法，通过枚举较小的数的所有可能性来例举分析，类推解答。
较小的数是1，只有一种取法，即【1，100】。
较小的数是2，只有两种取法，即【2，99】、【2，100】。
较小的数是3，只有三种取法，即【3，98】、【3，99】、【3，100】……
较小的数是50，有50种取法，即【50，51】、【50，52】……【50，100】。
较小的数是51，有49种取法，即【51，52】、【51，53】……【51，100】。
较小的数是99的只有一种取法，即【99，100】。
因此一共有：1+2+3……+50+49+……+2+1=50^2=2500种。
5.公式枚举
此法比较适合题目涉及的对象比较富有规律性，且情形繁多，数目很大，不宜用逐一列举来解。但通过适当的分类，逐一分析后，可利用公式解答。
例5：用5种颜色染方格图（2×2的），要求每个小格染同一种颜色，相鄰（即有公共边的）方格要染不同的颜色。有几种不同的染色方法？
分析与解答：此题可分四步染色：左上角先染色，有5种颜色可选，再染右上角，有4种颜色可选；接着染左下角，如果与右上角同色，则最后一格有4种颜色可选；如果与右上角不同色，则最后一格只剩3种颜色可选.此时不必逐一或分类列举。可借用乘法、加法原理得到：
5 × 4 × 4 + 5 × 4 × 3× 3 = 180 + 80 = 260 （种）
综上所述可看出：前三种法适合于数目、种类不很繁杂的题，后两种比较适合可能情形及答案较多的题，需分类枚举的，这是应重点学习掌握的。分析时应尽量做到分类全面、合理、正确，不重不漏，以便于简捷地思考解答。
参考文献：
[1] 《华罗庚数学金杯赛试题》 单遵的《初中奥林匹克竞赛》.
