给孩子一个思维支点让过程性目标逐一再现

张凤仙 汤春生

摘要：《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调：“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。我在教学植树问题时，引导学生根据实际问题情境，从简单的情况入手，在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含的规律，经歷建立数学模型的过程，帮助学生积累数学活动的经验，提高学生解决实际问题的能力。

关键词：数学模型；植树问题；经验

中图分类号：G623.5 文献标识码：B文章编号：1672-1578（2018）10-0171-01

1.经历解决问题的过程

在处理例1：在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？这一问题时，由放手让学生独立独立解决：当有学生说出学生们可能会想到的答案：“100÷5=20（棵）”，进行质疑：“对吗？请孩子们检验一下”，从而引发学生的思考。接下来 引导学生经历解决问题的常用方法──从简单的情况入手解决复杂的问题即化繁为简。

尝试处理“一条路长20m，在路的一边每隔5m栽一棵树（两端都栽），一共需要栽几棵？”

这里先呈现直观的图示法，让学生看到把一条线段平均分成4段，加上两个端点，一共有5个点，也就是要栽5棵树

使学生发现植树时确定树苗数量的问题并不能简单地用除法来解决。紧接着一个小男孩提出“25m可以栽几棵？”这次用画线段图的方式解决问题，不仅在研究方法上从直观转为抽象，更是向学生渗透归纳思想──一个特例不足以说明问题，多个不同的事物才能揭示规律。然后向学生提问：“你发现了什么规律？”启发学生透过现象发现规律，也就是栽树的棵数要比间隔数多1。同时教材进一步提出“不画图，你知道30m、35m要栽几棵树吗？”让学生利用发现的规律先解决简单的问题。

2.体会基本的数学思想

在“植树问题”中最重要的数学思想就是模型思想，而如何让学生理解从实际问题中抽象出数学模型的过程是教学“植树问题”的难点。为了突破这一难点，课上突出了线段图的教学，通过几何直观帮助学生理解“植树问题”的数学模型。在探讨关于一条线段、并且两端都要栽的植树问题时，让学生通过画线段图来发现栽树的棵数和间隔数之间的关系。通过这两幅图，让学生把“点”（树）与“线”（间隔）一一对应起来，结果发现还多出一个“点”（树），所以“栽树棵数=间隔数+1”。对于两端都不栽、一端栽另一端不栽及在封闭曲线上植树的问题，放手让学生通过迁移画出的线段图，并讲述线段图的画法以及线段上的点数（棵数）与线（间隔）之间的联系，突出“一一对应”的思想。

3.感受转化的研究方法，积累基本的活动经验

在面对封闭图形中的植树问题时，首先提示研究方法：“先画图试试看。假设周长是40 m……”引导学生根据已有的研究经验──直观作图、化繁为简来尝试解决问题。当学生直观看出能栽4棵后，并不急于让学生探索出封闭图形植树问题中的规律（即间隔数等于棵数），而是进一步提出问题：“如果把圆拉直成线段，你能发现什么？”从而把学生的思维引向深处。让学生通过观察、思考发现，化曲为直后，封闭图形上植树其实可以转化成“一端栽另一端不栽”的情形。接下来，通过两位学生的对话“我发现间隔数与树一一对应”“相当于一端栽，一端不栽”，不仅揭示了封闭图形上植树的规律，更是为学生沟通了知识之间的紧密联系。

4.追溯植树问题的根源

到这里不禁要问：植树问题的本质到底是什么？“植树问题”是研究“树的棵数”与“两树之间间隔数”之间数量关系的问题，其实质是研究点与段的问题。如何让学生建立“点段”关系呢？结合学生已有的知识基础和生活经验，从除法问题引申出植树问题。通过“20米，每5米分一段，共分几段”和“20米路，每5米栽一棵树，共栽几棵树”这两题的比较分析，一来帮助学生理解这两道题都是平均分，二来让学生明白两者的区别在于平均分是一段一段地分，而植树是种在段与段之间的点上。进而，让学生认识到“植树问题”只是除法意义在生活中的延伸，明白“植树问题”其实只是点和段的问题。

整个学习的过程，孩子的思维在不断的跳动，眼、口、手、脑多种感官参与的教学活动，让本节课过程性目标有效达成。课后的3w问题分析，学生关于本节课what的问题、why的问题、how的问题，清晰再现！要让过程性目标真正的落实，课上就要有学生的真参与、真活动、真思考，3w问题分析表就是检验其过程性是否有效落实的有效工具。给孩子一个思维的支点，经历观察、猜测、验证、推理与交流等活动，使学生既学会一些解决问题的一般方法与策略，渗透“猜测──探索──归纳──应用”的解决问题的策略和化繁为简的解决问题的方法，从而积累基本的数学活动经验。