多变量解耦内模控制系统设计与仿真

李玉霞，黄小莉，滕银银

(西华大学电气与电子信息学院，四川 成都 610039)

随着现代工业的发展，工业过程系统已不再局限于单变量系统[1]，需要控制的变量往往不止一个，且多个变量之间相互关联，即耦合。Morgan于1954年提出了基于精确对消的全解耦状态空间法。Rosenbrock于20世纪60年代提出了基于对角优势化的现代频率法。这2种方法都要求被控对象精确建模，在应用上受到一定的限制。文献[2-3]研究了采用多环控制结构来实现操作变量的解耦调节，虽然使调节系统有所简化，但是所能达到的系统输出响应性能指标相对于目前采用解耦控制结构的方法要低很多。对单变量内模控制研究得较透彻的今天，多变量的内模控制还有待进一步完善，而且对多变量控制方法使用的控制器的设计复杂，通常将控制器与解耦装置放在一起设计[4]，运算过程全是矩阵运算，涉及很多数学原理知识，使一般的工程设计人员无法真正理解控制器的设计原理。本文将解耦装置与控制器分开，进行了多变量系统解耦和基于内模控制的PID控制器设计，使得解耦条件更低，解耦精确度更高，解耦质量更好。该方法不仅具有内模控制器性能可靠、动态特性好、鲁棒性强、有一定的抗扰作用等优点，还具有PID控制器的参数意义明确、工程实用性好等优点。

1 多变量解耦内模控制系统的设计

1.1 系统总体框架结构

本系统的控制系统框图如图1所示,图中将内模控制器与内部模型等效为只有1个参数可调的PID控制器，以便过程获得较好的动态响应特性，并能实现控制算法简便熟悉易懂，达到控制策略容易理解的要求，又能应用于多变量控制系统。

图1中，R是参考输入，GIMC是内模控制器[4-5]，GD是前置反馈补偿解耦装置，GP是实际过程传递函数，GM是实际过程解耦后的等效系统模型，GC是内模控制器和等效系统模型等效转换后的PID控制器，GF(S)是干扰通道传递函数矩阵，f(S)是对角阵干扰输入，Y是系统输出。

图1 多变量内模控制的解耦框图

1.2 系统解耦设计

如果除被控系统传递函数矩阵的主对角线元素外，其他项元素均为零，则被控系统没有关联。从静态看，如果其他项元素增益比主对角线元素增益小得多，则被控系统关联就弱[6]。

前置反馈补偿解耦方式的解耦补偿器易于实现，也易于计算，其解耦结构如图2所示。

图2 前置反馈补偿解耦控制系统框图

图中：GP1是被控对象GP的对角元阵，即对角元素非零，其他元素均为零，GP2是非对角元与GP相等，对角元为零的矩阵，即GP=GP1+GP2；D为等效解耦环节[7]。由图2知，

D=[I-GD]-1。

(1)

要使系统能实现解耦，则

GP·D=(GP1+GP2)·[I-GD]-1。

(2)

此为对角阵。令式(2)等于GP1，则

(GP1+GP2)·[I-GD]-1=GP1。

(3)

求解得

(4)

即

(5)

2 设计实现

2.1 解耦装置环节的设计实现

本文采用的被控对象[8]为

(6)

由式(4)的方法计算得

(7)

则

(8)

2.2 内模控制器的设计实现

由于成功解耦后，可看作2条控制回路单独设计即单回路的设计思想，所以给控制器的设计带来很大的方便。为使系统输出能跟踪输入的变化，内模控制器应该取等效内部模型的逆，即

(9)

其中

(10)

滤波器

(11)

此处取n=1，则

2.3 等效PID控制器的实现

在图3中

(13)

将式(9)代入式(13)得

(14)

本文采用等效理想PID控制器的方法，即

(15)

将式(14)与(15)进行比较，得到PID参数[9-10]的计算公式：

(16)

(17)

(18)

图3 多变量内模控制系统的等效结构框图

3 系统测试与性能分析

3.1 仿真程序的实现

通过MATLAB软件的Simulink工具[11-12]来实现本文的仿真，仿真图如图4所示。

图4 仿真结构图

表1 控制器参数表

3.2 系统的动态特性分析

由于本文只须调整1个滤波器参数α,因此，参数设计变得非常简单，其实用性较强。图5示出模型匹配时的响应曲线。图中：参数α=3，在t=0时，通道1加入阶跃信号；t=30时，通道2加入阶跃信号；y1，y2为响应值。

图5 模型匹配时的仿真结果

可以看出：稳态系统误差为0；系统的超调量为0；响应时间ts为6 s；系统解耦后y1的阶跃响应对y2的输出基本没有影响，y2的阶跃响应使y1的输出值稍微有所减小，减少量为0.06，但y1的输出值能马上回到设定值，所以这2条回路之间的相互影响基本可以忽略。系统的解耦性能很好，动态特性也很好，能满足实际生产需要。

3.3 系统的鲁棒性分析

由于系统模型传递函数与实际过程不可能完全匹配，而且一般的工业过程传递函数是随时间变化的；因此,将模型的静态增益和时滞都增加20%，时间常数减小20%，控制器保持不变，观察系统在上述模型失配时的动态响应特性即系统的鲁棒性能。模型失配时的响应曲线如图6所示。

图6的仿真结果表明：与模型匹配时的仿真结果相比，稳态误差仍然为0，响应时间ts为6 s；虽然有40%的超调量，但在很短的时间内，输出能稳定于输入值。系统不能完全解耦，仍然有一定程度的关联，但2个控制通道还是能很快稳定在给定值，并且稳定后能无误差的跟踪给定值的变化，调节时间也不长；所以该设计系统的鲁棒性较强。本文的设计方法具有一定的实际应用价值。

图 6 模型失配时的仿真结果

3.4 系统的抗干扰特性分析

在时滞环节后，系统的闭环回路中，y1增加了幅值为0.5的阶跃扰动，y2增加了幅值为-0.5(与y1加的阶跃扰动方向相反)的阶跃扰动，阶跃开始时间分别为60 s和90 s。 系统在扰动的影响下响应曲线如图7所示。

图7 在扰动影响下的系统仿真结果

图7的仿真结果表明：系统在扰动的影响下虽然有一定程度的超调量(50%)；但在10 s内系统输出能快速稳定于给定值，响应时间约等于6 s，而且y1的扰动对y2的输出基本没有影响，y2的扰动对y1的输出响应也基本没有影响，系统稳态误差为0。系统在扰动的影响下表现出了较好的动态响应特性，所以系统能够克服扰动的影响，具有良好的抗扰性能。

4 结论

本文通过一种解耦方法来实现较为精确的解耦，使系统的控制器的设计由多变量控制矩阵的设计变为单变量控制器的设计，然后用两步法实现了内模控制器的设计，并通过将内模控制器与系统模型一起等效为PID控制器，使控制器参数的意义更加明确，只有1个滤波器时间常数α需要设计，大大简化了控制器的设计思路，缩短了实现所需的时间，最后通过MATLAB软件中的Simulink仿真工具实现了系统仿真。仿真结果表明，系统有较好的动态响应指标性能和稳态响应指标性能，可靠性较好，具有一定的抗干扰能力和鲁棒性，能较快使系统输出跟踪设定值的变化并达到稳定。本文的设计方法具有一定的工程实用性。

参 考 文 献

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