非线性电容电路的数值解法

摘 要：一切实际电路元件的参数总是一个变量，实际电路完全可以抽象为一个非线性电路模型。对非线性电路的研究具有重要的实际意义。运用基尔霍夫定律对非线性电路模型列写方程会得到的是非线性微分方程，该微分方程的解析解一般很难求得，但是可以利用数值法求得数值解。本文主要以非线性电容电路为研究对象，重点阐述了将欧拉法应用于非线性电容电路求其数值解的过程。通过研究发现应用欧拉法来求解非线性电容电路是完全可行的。

关键词：非线性电容电路；欧拉法；数值解法

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.09.162

0 引言

非线性电容是非线性电路的重要组成部件。非线性电容两端电压与其电荷是遵循某种非线性函数关系。把含有这种非线性电容元件的电路称为非线性电容电路。运用基尔霍夫电压定律求解非线性电容电路时，会得到一个非线性微分方程或非线性微分方程组，其解析解一般很难求得，这对于分析非线性电容电路造成了很大的困扰。本文试图探索以欧拉法为核心算法来求解非线性电容电路这一类问题，将求非线性电容电路的解析解转化为求其数值解。

1 欧拉法

运用基尔霍夫电压定律求解非线性电容电路时，会得到一个非线性微分方程或非线性微分方程组，求解这样的微分方程或微分方程组有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，如果借助计算机分析，计算机是不能得到解析解的。把求解非线性电容电路的解析解过程转换成求解数值解的过程显得尤为重要。欧拉法是将微分方程进行离散化处理，建立求数值解的递推公式，进行迭代，最终得到一个逼近精确解的数值解。

对于形如的微分方程，如果不易求其解析解，可以运用欧拉法将求解析解的问题转化为求其数值解，也就是将该微分方程进行离散化处理。将微分方程（1）的导数用均差近似，其中代表函数在点处的精确值，用表示函数在处的近似值，用代表步长。微分方程（1）可以离散化为，若已知初值y0，进行迭代可以得到y1，逐次进行迭代最终可以得到一个逼近精确解的近似解。

欧拉法的核心是迭代，只要逼近的方法选择适当，则欧拉法就收敛于真实值。在实际计算中，只要精度满足要求，相邻两次迭代绝对误差限小于ε就可停止迭代。

2 应用欧拉法求解非线性电容电路的步骤

由于运用基尔霍夫定律在求解非线性电容电路时所得到的微分方程的解析解一般很难求出，所以可以应用欧拉法求其数值解。求解的思路分为两步。第一步：根据非线性电容电路的特点，列写非线性微分方程。第二步：应用欧拉法来求解该非线性微分方程。

3 示例

下面运用一个实例具体阐述如何运用欧拉法求非线性电容电路的数值解的过程。电路如下图1所示：已知电流源IS=1A，电阻R0=1Ω，其中非线性电容的库伏特性为，u为电容两端电压，当t=0时刻有，流过R0的电流为i0，流过非线性电容的电流为ic。以q为电路变量写出微分方程。

以电容电荷q为电路变量，流过电容的电流，流过电阻的电流，应用KCL定律得到：，其微分方程为，此微分方程为一阶非线性微分方程。应用欧拉法得到微分方程离散化的迭代公式，其中h代表步长，即相邻时间间隔取0.1s，n代表迭代次数。设定当时停止迭代。表1，反映了计算结果及迭代次数。通过表1发现，经过10次迭代q的值达到要求。

4 结论

本文重點研究了应用数值方法来求解非线性电容电路，示例证明欧拉法把求非线性电路微分方程的解析解问题转化成求其数值解问题是完全可行的。该方法克服了求微分方程解析解的困难，为计算机求解非线性电容电路奠定了理论基础。

参考文献：

[1]李庆扬，王能超等.数值分析[M].北京：清华大学出版社，2008：12.

作者简介：付裕（1987-），陕西西安人，助教，研究方向：数据挖掘，电气自动化。