精彩的叠合矩形

金 敏

平行四边形知识是中考的重点内容，该部分试题考查面广.下面选取其中的一个考点——平行四边形中的折叠问题进行分析，希望对同学们的学习有所帮助.

【例题】（2017·浙江金华）如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形.类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形.

图1

图2

图3

图4

（1）将平行四边形ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段_____，___；S矩形EFGA∶S▱ABCD=_____.

（2）▱ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长.

（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形.请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD，BC的长.

【分析】什么是叠合矩形呢？我们结合题目中的例子来认识一下.在图1中，我们可以看到△ABC通过翻折形成叠合矩形EFGH的过程.题中“折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形”指的是△EHD、△HDG、△EDF拼成叠合矩形EFGH.举例之后，题目给出叠合矩形的定义：若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形.关注关键词的含义，定义中的“无缝隙、无重叠”表明翻折后的图形的边是互相重合的.

认识了叠合矩形之后，再解决问题.在问题（1）中，△AHE和梯形HFGA组成了叠合矩形AEFG，它们是通过折叠形成的，所以折痕是AE、GF.由于重合图形的面积相等，可得S△ABE=S△AHE，S梯形FHAG=S梯形FCDG，所以S矩形AEFG=-

根据问题（1）中的解题经验，对于问题（2），我们首先要思考叠合矩形是怎么形成的.观察图形，不难发现叠合矩形由四个三角形“无缝隙、无重叠”拼成，需要折叠四次，EF、EH、HG、FG是折痕.接下来进行计算.从已知出发，在矩形EFGH中，由 EF=5，EH=12，可得FH=13.从而思考已求的FH与要求的AD之间的关系.联想翻折和矩形的性质，可以得到△AEH≌△MEH≌△CGF≌△NGF，△DHG≌△NHG≌△BFE≌△MFE，所以DH=HN，CF=FN=AH，所以 FN+NH=AH+DH，即FH=AD.

问题（3）主要是设计折叠方案.同样需要借助解决前两个问题的经验寻找解题的思路.一方面，如图5（1）所示，梯形ABCD由△DEC和矩形ABED组成.矩形ABED沿边AB和DE的中点连线对折就可以得到叠合矩形；△DEC按图1的方法折叠也可以得到叠合矩形.综合这两个图形的翻折方式，可以获得梯形中的叠合矩形.另一方面，矩形是特殊的平行四边形，可以根据图3的方法得到叠合矩形.因此可以借助图3的翻折方法来理解图4中四边形的折叠，分成两类：一类是沿∠A、∠B、∠C所在的区域折叠，如图5（2）所示（虚线是折痕）.另一类是沿∠A、∠B、∠C、∠D所在的区域折叠，如图5（3）所示.

图5（1）

图5（2）

图5（3）

【解】（1）AE、GF，）AD=13；（3）有三种折法：如图6（1）、图6（2）、图6（3）所示.

第一种：如图6（1），EF、FG是折痕，则AE=EB=AB=4，DF=FC=FH=CD=5.∵四边形EBGF是正方形，∴FG=EB=4，∠FGH=90°.∴在Rt△FHG中，HG==3.∴CH=2HG=6，BH=BGHG=1.∴AD=1，BC=7.

CF=NF.∴HG==5.在 Rt△EBF 中 ，BF=AD=BC-6=

第三种：如图6（3），EF、FG、GH、EH是折痕，则AE=AH=BF=BE=AB=4；DH=HM，CF=MF.∴CF+DH=FH=8.易得CF-DH=6，∴CF=7，DH=1.则AD=5，BC=11.

图6（1）

图6（2）

图6（3）

【点评】这是一道基于阅读理解的探索题.根据题目，正确理解“叠合矩形”的定义是解决问题的前提.问题（3）是本题的难点，其解决需要经历以下过程：大致想象叠合后的正方形的位置，准确推理折叠方式，然后精确计算未知线段的长度.其中，想象和画出叠合正方形是解决问题的关键.借助问题（1）和问题（2）的经验，使用转化策略是解决问题（3）的方法.同时，还需要注意，翻折的方法不唯一，需要分类讨论；计算线段长度时需要利用重合图形全等的性质.

【拓展】矩形和菱形都是特殊的平行四边形，任意的矩形都可以按照图2和图3的方法折成叠合矩形.任意的菱形是否也可以这样折呢？

【分析】我们同样需要分类考虑，在菱形ABCD中，不妨设∠B是锐角.当60°≤∠B＜90°时，可以按照图2和图3的方法折叠，分别是图7（1）中的矩形AEFG、图7（2）中的矩形EHFG.当0°＜∠B＜60°时，按图7（1）的方式不能形成矩形，只有图7（2）的方法可以.

图 7（1）

图 7（2）