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巧用整体法,妙解方程题

2018-05-23江苏省泰州市高港实验学校七李可人

初中生世界 2018年17期
关键词:水笔元法方程组

◎江苏省泰州市高港实验学校七(6)班 李可人

在一次数学课外阅读活动中,我遇到了一组求解方程组的问题:

我一看,不就是解方程组吗?难不倒我!

解方程组(1),得

对于方程组(2),我先化简为然后用加减消元法先消去x,解得y=0,再将y=0代入化简后的第一个方程,解得x=2,故方程组(2)的解为

可是,还没等我算出结果,小明同学早就报出了结果,和我的结果一模一样.我很纳闷,小明怎么就那么快呢?这两个方程组之间有什么关联吗?我再仔细观察发现:除了未知数不同外,两个方程组的结构特征、系数都完全相同,如果把方程组(2)中的(x+2)和(y-1)看作整体,它们不就分别是方程组(1)中的a和b吗?因此,把方程组(1)的a、b替换成x+2、y-1不就直接得到即吗?用“整体”的思维方法解方程组(2),从分析到解决时间都不到1分钟,这是多么神奇啊!

从那之后,我开始有意识留心用“整体”方法来解决方程组的问题,越来越觉得用“整体”的方法真是省时又省力.如:

例1若方程组

的解互为相反数,求a的值.

常规方法是先解方程组,将x和y用含a的代数式表示出来,得再根据“互为相反数”列出方程:,解得a=-1.

从另外一个角度观察两个方程发现,未知数x的系数分别为3、1,未知数y的系数分别为1、3,相同未知数系数的和都是4.故想到用整体方法,将方程(1)与方程(2)直接相加可得:4x+4y=2+2a,即4(x+y)=2+2a,再将x+y=0代入,可得a=-1.看,这正是整体思想的功劳.

例2 解方程组

常规方法是代入消元法或加减消元法.但仔细观察可发现:4x+11y=5可变形为4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5①,再将2x+5y=3看作整体,代入方程①,很快解得y=-1,再将y=-1代入2x+5y=3,得x=4.故此方程组的解为

在解题中,我们要认真审题,仔细观察方程组的特点,这时你会发现,很多问题除了有常规方法外,还有更巧妙的解决思路呢!一次班级开展“悦读有奖”活动,需要购买奖状、书签和水笔共3种奖品.老师让我购买,还出了一道题考一考大家.题目是这样的:如果购买3张奖状、2个书签和1支水笔共需要13元;如果购买5张奖状、4个书签和3支水笔共需要25元.那么,班级活动需要购买12张奖状、9个书签和6支水笔共需多少元?

我稍加思索,很快回答:57元!聪明的同学,我的答案正确吗?你是怎么思考的呢?

教师点评

整体思想方法是指在观察、思考数学问题时,把某些式子或图形看作一个整体,把握已知与所求之间的关联.有目的、有意识地用整体的方法处理问题,体现了着眼全局、通盘考虑的整体观念.整体代入、整体运算、整体设元等都是整体思想在解决数学问题中的具体运用.小作者是个有心人,她通过解题的反思发现了整体方法,然后有意识地在后续的学习中运用整体方法来解决问题,发现了运用整体方法解决问题的巧妙之处.所以,在做题时要仔细审题,留心已知条件的特征,你一定也能找到属于自己的解题妙招!

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