时滞发展方程周期mild解的存在性

李强

(山西师范大学 数学与计算机科学学院,山西 临汾 041000)

0 引言

设X为Banach空间。我们考虑X中半线性时滞发展方程周期问题

u′(t)+Au(t)=F(t,u(t),u(t-τ)),t∈R

(1)

ω-周期mild解的存在性,其中A:D(A)⊂X→X为稠定闭线性算子,-A生成X中的C0-半群T(t)(t≥0),F:R×X×X→X为非线性映射,且F(t,·,·)关于t以ω为周期,τ>0为常数。

时滞偏微分方程理论有着广泛的物理背景和深刻的应用前景,得到了长足的发展和广泛的应用,见[1-2]。近年来,时滞偏微分方程周期问题已发展为一个重要研究领域。特别地,时滞发展方程周期解的存在性受到了学者们的广泛关注(见[3-11]及参考文献)。

文献[3]在相应的同伦族方程的解是一致有界的假设下,获得了一类时滞发展方程周期解的存在性结果。文献[4]利用初值问题解的先验有界性,获得了时滞发展方程周期解的存在性结果。文献[5-7]在初值问题的解有界或最终有界的条件下,获得了时滞发展方程周期mild 解的存在性及唯一性结果。最近,一些学者还讨论了一类非自治时滞发展方程周期问题(见[8-9]),他们在非线性项满足Lipschitz条件时,利用初值问题解的有界性,获得了周期解的存在性结果。显然,在上述工作中,对解的先验估计是必要的。特别地,李永祥教授[11]在Hilbert空间中,利用算子半群理论,通过对解算子的周期延拓,得到了时滞发展方程周期解存在及渐近稳定的必要条件。值得注意的是,在文献[11]中,虽然不再要求解的先验有界性,但由于研究空间的局限性和算子的特殊性,使得其研究结果并不具有普遍的适用性。

受上述文献的启发,本文在一般的Banach空间中研究时滞发展方程周期问题(1)。我们在紧半群情形下,通过对解算子的周期延拓并结合不动点定理,获得了在非线性项F满足一些增长条件时,时滞发展方程(1)ω-周期mild解的存在性结果。值得注意的是,本文不再假设解的先验有界性和要求非线性项满足Lipschitz条件,并且将所讨论问题的工作空间推广到了更一般的Banach空间,这极大地改进和推广了现有文献的相关结果。

1 预备知识

设X为Banach空间,A:D(A)⊂X→X为稠定闭线性算子,-A生成X中的C0-半群T(t)(t≥0)。熟知[12],对C0-半群T(t)(t≥0),存在M≥1及ν∈R使得

‖T(t)‖≤Meνt,t≥0.

(2)

令

ν0=inf{ν∈R|∃M≥1,‖T(t)‖≤Meνt,∀t≥0},

(3)

则称ν0为C0-半群T(t)(t≥0)的增长指数。设J=[0,∞),h∈C(J,X),x0∈X。由[12,第四章,定理2,9]可知,若x0∈D(A)且h∈C1(J,X),则线性发展方程初值问题

存在唯一的古典解u∈C1(J,X)∩C(J,X1),且该解可表示为

(4)

其中X1=D(A)为按图像范数‖x‖1=‖x‖+‖Ax‖构成的Banach空间。对一般的x0∈X及h∈C(J,X),由(4)式确定的u∈C(J,X),称为mild解。

记Cω(R,X)为以ω为周期的X值的连续函数全体按范数‖u‖C=maxt∈[0,ω]‖u(t)‖构成的Banach空间。设h∈Cω(R,X),对于X中的线性发展方程ω-周期问题

u′(t)+Au(t)=h(t),t∈R,

(5)

我们有下面的结果。

引理1[13-14]设X为Banach空间-A生成X中指数稳定的C0-半群T(t)(t≥0),即ν0<0，则对任意的h∈Cω(R,X)，线性发展方程(5)存在唯一的ω周期mild解u,满足

(6)

且解算子P:Cω(R,X)→Cω(R,X)为线性有界算子，其中：

为方便起见,我们再引入下列记号:

CT=‖(I-T(ω))-1‖,MT=sup{‖T(t)‖|t≥0}.

2 主要结果及证明

定理1 设X为Banach空间，-A生成X中指数稳定的紧半群T(t)(t≥0)。设F:R×X×X→X为连续函数,关于t以ω为周期。若下列条件满足:

‖F(t,x,y)‖≤p(t)(φ(t)+φ(y)),t∈R,x,y∈X,

且

证定义算子Q如下

(7)

其中P由引理1定义,

(8)

由引理1, 易见Q:Cω(R,X)→Cω(R,X)，且

(9)

其中

于是方程(1)的ω-周期mild解等价于算子Q的不动点。下面我们运用Leray-Schauder不动点定理证明算子Q在Cω(R,X)中存在不动点，为此我们先证明Q:Cω(R,X)→Cω(R,X)为全连续算子。

第一步 证明Q:Cω(R,X)→Cω(R,X)连续。设{un}⊂Cω(R,X)满足un→u(n→∞)。 对∀t∈R由(9)式,有

(10)

又因为F:R×X×X→X连续，所以对∀t∈R, 有

F(t,un(t),un(t-τ))→F(t,u(t),u(t-τ)),

(11)

因此由(9),(10)及Lebesgue控制收敛定理有

‖Qun(t)-Qu(t)‖=

从而

‖Qun-Qu‖→0,(n→∞),

(12)

即Q:Cω(R,X)→Cω(R,X)连续。

第二步 证明Q把Cω(R,X)中的有界集映成有界集。对任意的K>0，令

(13)

‖F(t,u(t),u(t-τ))‖≤M1,t∈R,

(14)

于是,我们有

Qu(t2)-Qu(t1)=

I1+I2+I3

显然

‖Qu(t2)-Qu(t1)‖≤‖I1‖+‖I2‖+‖I3‖.

(15)

CTMTM1(t2-t1)→0,(t2-t1→0),

CTMTM1(t2-t1)→0,(t2-t1→0).

(16)

其中

综上所述，按Arzela-Ascoli定理，Q:Cω(R,X)→Cω(R,X)为全连续算子，令

下证集合Λ(Q)有界。

设u∈Λ(Q)，则存在λ∈(0,1)，使得u=λQu。由u的周期性，我们任取t∈[0,ω]，由算子Q的定义，有

(17)

所以

由函数φ的增性,对∀t∈[0,ω]有

(18)

显然v(0)=MT‖B(u)‖=a,并且

v′(t)=2MTφ(‖u‖C)p(t)≤2MTφ(v(t))p(t), a.e.t∈[0,ω].

因此,对每个t∈[0,ω],有

作变量代换，结合假设条件(A1),有

(19)

所以，存在常数b使得v(t)≤b,t∈[0,ω]，因此由v(t)的定义知，‖u‖C≤b，其中b仅与函数p及φ有关。这说明集合Λ(Q)有界。

由Leray-Schauder不动点定理，算子Q在Cω(R,X)中存在不动点，此不动点即为时滞发展方程(1)的ω周期mild解。 证毕。

推论1 设X为Banach空间，-A生成X中指数稳定的紧半群T(t)(t≥0)。设F:R×X×X→X为连续函数，关于t以ω为周期。若下列条件满足:

(A1′) 存在常数d>0，对∀t∈R和x,y∈X有

F(t,x,y)≤d,

则时滞发展方程(1)至少存在一个ω-周期mild解。

定理2 设X为Banach空间，-A生成X中指数稳定的紧半群T(t)(t≥0)。设F:R×X×X→X为连续函数，关于t以ω为周期。若下列条件满足:

‖F(t,x,y)‖≤p(t)(φ(‖x‖)+φ(y))，

且

则半线性时滞发展方程(1)至少存在一个ω-周期mild解。

推论2 设X为Banach空间，-A生成X中指数稳定的紧半群T(t)(t≥0),设F:R×X×X→X为连续函数，关于t以ω为周期。若下列条件满足:

‖F(t,x,y)‖≤p(t)(φ(‖x‖)+φ(y))

且

则半线性时滞发展方程(1)至少存在一个ω-周期mild解。

定理3 设X为Banach空间，-A生成X中指数稳定的紧半群T(t)(t≥0),设F:R×X×X→X为连续函数，关于t以ω为周期。若下列条件满足:

(A3)存在正常数c1,c2及c0,满足CTMTω(c1+c2)<1，使得对∀t∈R及x,y∈X,有

‖F(t,x,y)‖≤c1‖x‖+c2‖y‖+c0，

则半线性时滞发展方程(1)至少存在一个ω-周期mild解。

‖F(t,u(t),u(t-τ))‖≤c1‖u(t)‖+c2‖u(t-τ)‖+c0t∈R,

(20)

取

(21)

CTMT(c1+c2)ωK0+CTMTc0ω,

3 应用

在抛物型方程中,线性算子A经常是由线性椭圆算子决定的微分算子，算子所作用的函数，其定义域是N维欧氏空间RN中的有界区域，当区域的边界适当光滑时，A的预解算子R(λ,A)是一个紧算子，如果A是自伴算子且生成C0-半群，则该半群是紧半群。由此可以看出在抛物型偏微分方程及其应用中紧算子半群是处理问题的一种重要工具。

例Dirichlet边界条件下含时滞的抛物型偏微分方程的时间周期问题。

设Ω⊂RN是边界充分光滑的有界区域, 考虑具有时滞的抛物型偏微分方程

(22)

令X=L2(Ω),则X为Banach空间，定义A:D(A)⊂X→X如下:

(23)

f(x,t,η,ξ)≤c1η+c2ξ+c0,

则按定理3我们有如下存在性定理。

证令u(t)(x)=u(x,t),u(t-τ)(x)=u(x,t-τ)且

F(t,u(t),u(t-τ))(x)=f(x,t,u(x,t),u(x,t-τ)),

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