Darcy-Brinkman方程的残量型后验误差估计∗

张秋雨，黄鹏展

(新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046)

0 引言

在一些物理和工程的实际数值模拟过程中,我们经常会遇到局部奇异、边界层和近似断裂问题.当我们用有限元方法求解这类问题时,这些局部奇异的地方往往会在很大程度上影响全局的计算精度.自适应有限元方法(简称AFEM)[1–3]是解决以上问题的一种比较常用的方法,主要思想是细化局部网格或者提升基函数的自由度.对于有限元方法来说,进行网格局部加密是比较容易实现的,但如何确定这些关键的局部区域是我们需要重点关注的.后验误差估计一般分为基于方程残量型的后验误差、基于梯度重构型的后验误差和基于投影算子型的后验误差,根据这些误差我们可以构造对应的误差估计子,通过对这些估计子的计算和处理,我们可以用其指示出原网格需要加密的区域,通过加密策略进而得到加密后的网格.

本文主要研究Darcy-Brinkman方程的稳定化有限元方法的残量型后验误差估计.其中ν代表粘性系数,∂Ω=ΓT+ΓB是多边形区域边界,u,p,T,C分别代表速度场、压力场、温度场和浓度场,Da表示Darcy数,Dc表示质量扩散系数，g是重力加速度,βT和βC分别为热扩散系数和物质的溶解系数,γ表示热扩散率.关于Darcy-Brinkman方程的先验误差估计的理论可以参考[4-6].

1 基于稳定化有限元方法的残量型后验误差估计子

本节主要介绍稳定化有限元方法以及残量型后验误差估计子的一些基本概念、推导过程,详细内容可以参见文献[7-10].

考虑如下函数空间

定义Banach 空间对应的范数这样方程(1)的弱形式可写为求解使得

当采用有限元进行离散这个问题时,我们考虑最低阶的协调有限元对P1/P0/P1/P1(线性速度/常数温度/线性温度/线性浓度),选取如下的有限元子空间

这里的τh={K}是拟一致的网格剖分.为了使离散问题稳定、满足离散的inf-sup条件,我们需要采取稳定化方法.在这里我们选用基于压力投影的稳定化方法[11],则离散变分问题可以写成

稳定项S(ph,qh)=(ph−Πph,qh−Πqh).Π定义为:L2(Ω)→P1(K),可参见文献[11].

定义残量泛函R:Mh×Qh×Wh×Lh→R,

根据残量泛函,可以看出残量包含单元残量和边界残量两部分,单元残量反应了有限元解在网格单元内部逼近原始方程的程度,而边界残量在这里即单元间残量,反映了法向通量在网格单元边界的跳跃.定义∈h为所有边的集合,K为τh的元素,hK为单元K的最长边,he为单元K的边界边,ne为边上的法向量.由以上的残量泛函来构建残量型估计子

则全局估计子为

2 残量型后验误差估计子的误差估计

为了能应用Ver¨ufrth和Ainsworth对非线性偏微分方程建立起的后验误差估计的理论框架[7–9],我们定义C¸(X,Y)是Banach 空间X到Y的连续线性映射,并装备范数‖·‖C¸(X,Y).定义Isom(X,Y)⊂C¸(X,Y)是X到Y的线性同胚的一个子集.XD⊂X,Y∗D⊂Y∗.Y∗是Y的对偶空间,Y∗=C¸(Y,R).F∈C1(X,Y∗)是一个连续的可微函数,Fh满足

DF(U∗)是F对U∗的线性化算子.

定理1[7,9,12]记Uh∈Xh是方程Fh(Uh)=0的数值解,且‖Fh(Uh)‖Y∗

h无限小.假定存在一个限制算子Rh∈C¸(Y,Yh),Y→Y的恒等算子IdY,Y的一个有限维子空间˜Yh=span{ψi},且˜Fh:Xh→˜Y∗h是F在Uh的近似.则有

定理2记[u∗,p∗,T∗,C∗]是弱形式(2)的解,[uh,ph,Th,Ch]∈[Mh,Qh,Wh,Lh]是离散形式(3)的解且充分接近[u∗,p∗,T∗,C∗],并满足定理1的条件,则我们有

证明首先,我们要验证F的可微性,并在[u∗,p∗,T∗,C∗]的邻域内是Lipschitz连续.令DF∗∈C¸(X,Y∗),

我们可以看出F在[u∗,p∗,T∗,C∗]是可微的.

令DF1(·)是[u1,p1,T1,C1]处的导数,对任意的[v,q,t,r]∈Y,[u,p,T,C]∈B([u∗,p∗,T∗,C∗],R∗),有

则

即F是Lispschitz连续的.

根据和F的定义,我们可以得到

又因为

我们有

由(4)-(9),我们可以得到

3 数值实验

在给出数值算例之前,我们需要引入一些记号.iter是自适应加密的迭代次数;Mesh是网格的单元个数;uH1是速度数值解的H1相对误差;pL2是压力数值解的L2相对误差;TH1是温度数值解的H1相对误差;CH1是浓度数值解的H1相对误差.

3.1 真解算例

考虑方形区域Ω=[0,1]×[0,1],我们给出以下真解,其中r1=4.1,r2=4.1.

首先我们先给出一致网格的有限元数值模拟结果,来作为基于以上估计子的自适应算法的对比.从表1和表2的最后一次加密结果我们可以看出,用自适应加密策略生成的网格来进行计算时比一致网格的效率更高.在表2中的第五次迭代时,我们只用了7 511个单元,就得到比一致网格8 192个单元低一倍的相对误差,体现出了新方法的有效性.另外图1描绘出了相关的网格图和数值结果.

表1 一致网格的数值误差

表2 自适应网格的数值误差

图1 第一行是自适应加密的得到网格,第二行在自适应网格下得到的数值解uh,ph,Th

图2 第一行是自适应加密的得到网格,第二行是边界条件以及自适应网格下解得的速度和温度uh,Th

3.2 实际问题

下面我们给出一个实际问题,考虑方形区域Ω=[0,1]×[0,1],边界如图2的左下角所示,其中上下边界对温度T和浓度C都是绝缘的,左右边界分别给T=C=4∗y∗(1−y),速度在边界上都为0.从图2中我们可以看出在速度和温度变化相对大的地方,网格能够自适应的进行调整,表明改估计子对实际问题也十分有效.

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